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E.S.C.Paris 1999 Option Economique MATHEMATIQUES III EXERCICE I SoitM2(Relstiotevtcroeiense)ldesmmbleeccstaireedsra´r2mrerdoasesidunerutcurtecapsed Jla matrice   0 1 J= 1 0 Onconside`relapplicationSdeM2(Rmeqe-iˆmsnul)adout´e`atsociuiastneme´leMdeM2(R) l´ele´mentS(M) =J M J. 1. a)Montrer que l’applicationSlcepaeslieorctveantumorohpsiemedainsid´enieestu M2(R).Qltseleuqoeuicrpedmorpautoer´ehismS? b)Montrer que siMetNeml´tsendent´euxoseudseuqleocqnM2(R), on aS(M N) = S(M)S(N) 2.sntme´eels´leree`disnocnO     1 00 11 00 1 I=J=K=L= 0 11 0011 0 Montrer que (I, J, K, L) forme une base de l’espace vectorielM2(R). 3.Montrer queI, J, K, Lsont des vecteurs propres deSD´.eretnemimalrirtaerece´rpnatestn l’automorphismeSdans la base (I, J, K, L). 4.SoitFslee´emtns´delembseenlMdeM2(Rnt)v´eriaS(M) =Met soitGl’ensemble des ´ele´mentsMdeM2(R(R)tnari´e)VS(M) =Mque. MontrerFetGsont des sous-espaces vectoriels deM2(Ruotele´teme´tn)quetMdeM2(Rrideuenamine`er)peuts´ecrenudte seule sous la formeM=M++MavecM+∈ FetM∈ G.   31 Atitredexemple,d´eterminerlesmatricesA+etAlorsqueA= . 12 5. a)mealterpircoedsuointtdreedrequxuna`taMpaaptrneFssauai`rtpantiepaF. Que peut-ondireduproduitdedeux´el´ementsdeG? b)lPt,enems´ci´eprussecirtamxuedruopMetNdeM2(R), exprimer (M N)+et (M N)en fonction deM+,M,N+etN. EXERCICE II Pour tout entierks,2a`lagtiop´ersuou´eieurfkfalndiocton0suri]en´e,+[ par : k ln (x) fk(x) =six >0 etx6et= 1fk(1) = 0 x1 1.Etude des fonctionsfk. a)Soitk´uorueire´pusreintneu`a2.egal Justierlade´rivabilite´delafonctionfksur ]0,1[]1,+delatp[e´rcesirealavelru 0 d´eriv´eef(x), pour toutxntnatearppa]0`a,1[]1,+[. k 0 en 1 et donner, selon les valeurs dek, la valeur def Montrer quefkstd´eableerivk(1) ESCP 1999 Eco IIIPage 1/ 4