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ESCP-EAP 2003. math 1, option S
Danstoutleprobl`eme,onconsid`ereunentiernaturelpup´esor´uiruea`.2gelauttourPoertien naturelq, on noteRq[X] (resp.Cq[Xl]eatorielr´spacevecmoc.xelp(leepserˆoyns`medee)olsp coecientsre´els(resp.complexes)dedegre´auplus´egal`aqteemrnfaucrodprooOnnol.epˆoyn fonctionpolynomialeassoci´ee. On noteSR(resp.SC.elpm)sexlee´rleioc.pser(paesl)orctvecellse´ree.pocr(sexe)dmpleitesessu Pr´eliminaire p p1 Onconsid`erelafonctionr´eellefatoutr´equi`lexpositif ou nul associef(x) =xx1. 1)a)Donner le tableau de variation de la fonctionf. b)taulesr´anivsuts:stdne´Eleseudri la fonctionfesannuleuneseulefioesunrne´leon´tCqustieristemctstnee´puueir1a`r. eeltu´rruotopxlee´,lerunultifoposif(x) est strictement positif si et seulement sixest strictementsup´erieura`C. 3 2)Dlsnaulicroieasecrtpatienl`uerpc,4a`lagrerapmo´esteCet . 2 Partie I On rappelle que siaest un nombre complexe etQ(Xelexasolsr`acoecientscomppnu)nyloemoˆ lepolynoˆmeQ(X) est divisible parXasi et seulement si le complexeQ(a) est nul. 1)Soitaun nombre complexe,nenunertigal`a2etmuiosne´anuteralP(Xa)unpolynˆome` n X k coecientscomplexesdedegr´enriecntva´sP(X) =αkX. k=0 n k1   X X ki1i ´ a)egalrl´abliEt:tie´P(X)P(a) = (Xa)Q(Xuo`)Q(X) =αka X. k=1i=0 2 b)emoEdne´duirequelepolynˆP(X)P(a) est divisible par (Xa) siet seulement si le n X k1 nombre complexekaest nul. k=1 ` c)Aqonecllueletnmonesteeasuesecirsatidin´onexebrecomplaest-il racine au moins double dupolynˆomeP(X) ? p p1 2)uqrertnoMˆomeolynelepXX1 apracines simples dansCet qu’elles sont toutes nonnulles.Cesracinesserontnot´eesZ1, Z2, . . . , Zpavec la convention queZpgelase´ta`C. ´ 3)a)Etablir, pour tout couple (x, y:´eitalegn´ideno)sel,lpxecsmobmer|x| − |y|6|xy|. Quand a-t-onl´egalit´e? ´ b)Etablir, pour tout entierktel que 16k6p:eil´tnilage´,|Zk|6C. c)Montrer que sikest un entier tel que 16k6peg´,l´eital|Zk|=Cn’a lieu que sikest´egal `ap. p 4)Soitθl’application deCp1[X] dansCexelpmocemˆoynoltpouati`quP(Xed)´eaudegr   p plus´egal`aple´osic1sa´eelntmeZ1P(Z1), Z2P(Z2), . . . , ZpP(Zp) deC. a)Montrer que l’applicationθest un isomorphisme. p b)ent(l´emuiedd´En,eoperuqtue´ruotu1, u2, . . . , up) deCunteiqun´eueeml´netli,sixe p (λ1, λ2, . . . , λp) deCv´eriant λ1Z1+λ2Z2+∙ ∙ ∙+λpZp=u1 2 22 λ Z+λ Z+∙ ∙ ∙+ 1 12 2λpZp=u2 . .. . pp p λ Z+λ Z+u 1 12 2∙ ∙ ∙+λpZp=p