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ESCP-EAP
´ OPTION ECONOMIQUE
´ MATHEMATIQUES III
Jeudi15mai2003,de8ha`12h.
Lapr´esentation,lalisibilit´e,lorthographe,laqualite´delare´daction,laclart´eetlapr´ecisiondes raisonnementsentrerontpourunepartimportantedanslappr´eciationdescopies. Lescandidatssontinvit´es`aencadrerdanslamesuredupossiblelesr´esultatsdeleurscalculs. Ilsnedoiventfaireusagedaucundocument;lutilisationdetoutecalculatriceetdetoutmat´eriel ´electroniqueestinterdite. Seulelutilisationdunere`glegradu´eeestautoris´ee.
EXERCICE Soita, bdeux entiers naturels non nuls etsleur somme. Une urne contient initialementaboules noires etbboules blanches indiscernables au toucher. On effectue dans cette urne une suite infinie de tirages au hasard d’une boule selon le protocole suivant : silabouletire´eestblanche,elleestremisedanslurne; silabouletire´eestnoire,elleestremplace´edanslurneparunebouleblancheprisedansuner´eserve annexe. Avant chaque tirage, l’urne contient donc toujourssboules. Onde´signepar(Ω,B,Pecetelismod´equiil´sabibpeorpscane)uuterltiennaerurpouttocnei,teexeetre´pn non nul, on note : Bn´ev´enementl«lan-i`emeboecheetslbnaluterie´»; Xnredenombntleignaseitnahcselboblusdersouucsaeer´valaabrieriose´dlaeltae´npremiers tirages; unlepse´arcndeelavariableal´earioteXnir-d,eseca`-tun=E(Xn). ´ 1. Etuded’un ensemble de suites SoitAl’ensemble des suites (xn)n>1enit:euli´seqeerrv´d nNx, sn+1= (s1)xn+b+n a) Soitαetβes(tduerxe´levn)n>1:rapien´eeditsulanN, vn=α n+β. De´terminerenfonctiondebet desles valeurs deαetβpour que la suite (vn)n>1appartienne a`A. b) Soit(xn)n>1at`anetiusenunetrappaA, (vn)n>1laaqueeee`taldnepnrt´esct´ieodee´ustinie´etmr (yn)n>1r:paneidee´ustialnN, yn=xnvn. Montrer que la suite (yn)n>1cilir,teeequxpteitneanreruoptuotestunoe´mteirseiuet´glutern non nul,ynpuisxnen fonction dex1, b, setn.
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