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Escp eap 2005 mathematiques iii classe prepa hec (ecs) mathematiques iii 2005 classe prepa hec (ecs)

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6CHAMBRE DE COMMERCE ET D INDUSTRIE DE PARISDIRECTION DE L’ENSEIGNEMENTDirection des Admissions et concoursECOLE DES HAUTES ETUDES COMMERCIALESE.S.C.P.-E.A.P.ECOLE SUPERIEURE DE COMMERCE DE LYONCONCOURS D’ADMISSION SUR CLASSES PREPARATOIRESOPTION ECONOMIQUEMATHEMATIQUES IIIAnnØe 2005La prØsentation, la lisibilitØ, l’orthographe, la qualitØ de la rØdaction, la clartØ et la prØcision desraisonnements entreront pour une part importante dans l apprØciation des copies.Les candidats sont invitØs à encadrer dans la mesure du possible les rØsultats de leurs calculs.Ils ne doivent faire usage d aucun document : l’utilisation de toute calculatrice et de tout matØrielØlectronique est interdite.Seule l’utilisation d une rŁgle graduØe est autorisØe.EXERCICEDans tout l’exercice, E dØsigne un espace vectoriel rØel de dimension n, avec n> 2. Si v est un endomorphismek 0de E, pour tout entier naturel k, on note v el ndomorphisme dØ ni par rØcurrence par v = Id, oø Id reprØsentek+1 kel ndomorphisme identitØ, et v = v v.Les parties A et B de cet exercice sont indØpendantes.Partie A.2Dans cette partie, on suppose que l’entier n est Øgal à 2, et on considŁre un endomorphisme f vØri ant f = 0 etf = 0.1. Montrer qu’il existe un vecteur x de E tel que (x;f(x)) soit une base de E. 0 02. En dØduire que la matrice associØe à f dans, cette base est .1 0Partie B.2Dans cette partie, on suppose quen = 4 et on cherche à rØsoudre l’Øquationu = Id, oøu est un ...
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CHAMBRE DE COMMERCE ET DINDUSTRIE DE PARIS DIRECTION DE LENSEIGNEMENT Direction des Admissions et concours
ECOLE DES HAUTES ETUDES COMMERCIALES E.S.C.P.-E.A.P. ECOLE SUPERIEURE DE COMMERCE DE LYON
CONCOURS DADMISSION SUR CLASSES PREPARATOIRES
OPTION ECONOMIQUE MATHEMATIQUESIII Année 2005
La présentation, la lisibilité, lorthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans lappréciation des copies. Les candidats sont invités à encadrer dans la mesure du possible les résultats de leurs calculs. Ils ne doivent faire usage daucun document :lutilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite. Seule lutilisation dune règle graduée est autorisée.
EXERCICE Dans tout lexercice,Edésigne un espace vectoriel réel de dimensionn, avecn>2. Sivest un endomorphisme k0 deE, pour tout entier naturelk, on notevlendomorphisme déni par récurrence parv= Id, oùIdreprésente k+1k lendomorphisme identité, etv=vv. Les parties A et B de cet exercice sont indépendantes.
Partie A. 2 Dans cette partie, on suppose que lentiernest égal à 2, et on considère un endomorphismefvériantf= 0et f6= 0.
1. Montrerquil existe un vecteurxdeEtel que(x; f(x))soit une base deE.   0 0 2. Endéduire que la matrice associée àf.dans, cette base est 1 0
Partie B. 2 Dans cette partie, on suppose quen= 4et on cherche à résoudre léquationu=Id, oùuest un endomorphisme deE. Soitfune solution de cette équation. 1. Montrerquil nexiste pas de scalairetel que léquationf(x) =xdinconnuex2E, admette une solution non nulle. 2. Soitxun vecteur non nul deEque la famille. Montrer(x; f(x))est libre. On noteFQuelle est la dimension dele sous-espace vectoriel engendré par cette famille.F?
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