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CHAMBRE DE COMMERCE ET DINDUSTRIE DE PARIS DIRECTION DE LENSEIGNEMENT Direction des Admissions et concours
ECOLE DES HAUTES ETUDES COMMERCIALES E.S.C.P.-E.A.P. ECOLE SUPERIEURE DE COMMERCE DE LYON
CONCOURS DADMISSION SUR CLASSES PREPARATOIRES
OPTION ECONOMIQUE MATHEMATIQUESIII Année 2005
La présentation, la lisibilité, lorthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans lappréciation des copies. Les candidats sont invités à encadrer dans la mesure du possible les résultats de leurs calculs. Ils ne doivent faire usage daucun document :lutilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite. Seule lutilisation dune règle graduée est autorisée.
EXERCICE Dans tout lexercice,Edésigne un espace vectoriel réel de dimensionn, avecn>2. Sivest un endomorphisme k0 deE, pour tout entier naturelk, on notevlendomorphisme déni par récurrence parv= Id, oùIdreprésente k+1k lendomorphisme identité, etv=vv. Les parties A et B de cet exercice sont indépendantes.
Partie A. 2 Dans cette partie, on suppose que lentiernest égal à 2, et on considère un endomorphismefvériantf= 0et f6= 0.
1. Montrerquil existe un vecteurxdeEtel que(x; f(x))soit une base deE.   0 0 2. Endéduire que la matrice associée àf.dans, cette base est 1 0
Partie B. 2 Dans cette partie, on suppose quen= 4et on cherche à résoudre léquationu=Id, oùuest un endomorphisme deE. Soitfune solution de cette équation. 1. Montrerquil nexiste pas de scalairetel que léquationf(x) =xdinconnuex2E, admette une solution non nulle. 2. Soitxun vecteur non nul deEque la famille. Montrer(x; f(x))est libre. On noteFQuelle est la dimension dele sous-espace vectoriel engendré par cette famille.F?
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