ESG 2005 Option Øconomique Math IAVIS : Nous rappelons que l’usage des calculatrices est interditAucun document n est autorisØ. Les candidats sont invitØs à soigner la prØsentation de leur copie, à mettre enØvidence les principaux rØsultats et à donner des dØmonstrations complŁtes de leurs a¢ rmations.EXERCICE DE PROBABILITÉS (sur 4 ...
AVIS : Nous rappelons que lusage des calculatrices est interdit Aucun document nest autorisé.Les candidats sont invités à soigner la présentation de leur copie, à mettre en évidence les principaux résultats et à donner des démonstrations complètes de leurs a¢ rmations.
EXERCICE DE PROBABILITÉS (sur 4 points)
Un candidat participe à un jeu télévisé où on lui pose cinq questions.Pour chacune des questions, trois réponses sont proposées, une seule bien sûr étant correcte.Le candidat est gagnant sil a fourni au moins quatre réponses exactes. Sile candidat ne connaît pas la réponse, il répond au hasard ; sinon il fournit la bonne réponse avec une probabilité égale à 1.Soitpla probabilité quil connaisse la réponse pour chacune des questions.
1. Déterminerla probabilitérque le candidat réponde correctement à une question particulière.
2. Exprimeren fonction derla probabilitéquil soit gagnant.
3. Sachantque le candidat a gagné, calculer en fonction depla probabilitéquil ait répondu exactement à toutes les questions.
4. Audébut du jeu, on présente au candidat trois enveloppes contenant le questionnaire qui lui sera remis et il en choisit une au hasard.Sachant quil connaît quatre réponses dans lenveloppeE1et deux dans les enveloppesEetE, calculer sa probabilité de gaing. 2 3
EXERCICE DALGÈBRE (sur 6 points) On noteElespace vectoriel des polynômes réels de degré inférieur ou égal à 2, muni de sa base canonique 2 B= (1;X;X). E!E Soitulapplication dénie surEpar avec P7!u(P) 20 8x2R; u(P)(x) = (2x+ 1)P(x)(x1)P(x); 0 oùPdésigne la dérivée première du polynômeP.
1. Montrerqueuest un endomorphisme deE.
2. Déterminerla matriceMdeurelativement à la baseB.
3. Déterminerles valeurs propres deuet les sous espaces propres associés. Lendomorphismeuest-il diagonalisable ?
EXERCICE DANALYSE (sur 10 points)
nx e Pour tout entiern>0, on notefla fonction dénie surRpar :f(x) = n n x 1 +e On noteCnla courbe représentative defn.