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Espci 2002 deuxieme composition de mathematiques classe prepa pc deuxieme composition de mathematiques 2002 classe prepa pc

4 pages
ÉCOLEPOLYTECHNIQUEÉCOLESUPÉRIEUREDEPHYSIQUEETDECHIMIEINDUSTRIELLESCONCOURSD’ADMISSION2002 FILIÈREPCDEUXIÈMECOMPOSITIONDEMATHÉMATIQUES(Durée:4heures)L’utilisationdescalculatricesn’estpasautoriséepourcetteépreuve.Ceproblèmeapourbutprincipall’étudedescoefficientsdiagonauxdesdiversesmatricessemblablesàunematricedonnée.Ondésignepar nunentier 2,parM (R)l’espacedesmatricesàcoefficientsréels,à nnligneset ncolonnes,etpar Ilamatriceidentité;onappellescalaireslesmatricesdelaformeλI où λestunréel.Onrappellequedeuxmatrices Aet Bsontditessemblables s’ilexiste−1unematriceinversible Qvérifiant B = QAQ ,c’est-à-diresi Aet Breprésententunmêmen nendomorphismedeR dansdeuxbasesdeR .Premièrepartie1.Démontrerlesassertionssuivantes:n,nonnuletnonvecteura)Siunematrice Aestnonscalaire,ilexisteunvecteur XdeRproprepour A.b)Soit A ∈ M (R),iet j∈{1,...,n}.Ilexisteunematrice Bsemblableà Atellequenb = a ,b = a ,b = a pourtout k = i, j .i,i j,j j,j i,i k,k k,kDeuxièmepartie2.Onsedonneunematrice Ade M (R)detracenulleetonseproposededémontrerqu’ilnexisteunematrice Bsemblableà Aayanttoussescoefficientsdiagonauxnuls.na) Montrer que si A est non nulle, il existe une base (X ,...,X ) de R telle que1 nAX = X.1 2b)Conclureenprocédantparrécurrencesur n.13.Applicationsnumériques.Danschacundescasconsidérés,onindiqueraunematrice Brépondantàlaquestionetunebasequiluicorrespond.a) n=2,Aestdiagonaleaveccoefficientsdiagonaux 1,−1.b) n=3,Aestdiagonaleaveccoefficientsdiagonaux 1,0,−1.4.Soit ...
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ÉCOLE POLYTECHNIQUE ÉCOLE SUPÉRIEURE DE PHYSIQUE ET DE CHIMIE INDUSTRIELLES
CONCOURS D’ADMISSION 2002
FILIÈREPC
DEUXIÈME COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES (Durée : 4 heures)
L’utilisation des calculatrices n’est pas autorisée pour cette épreuve.   
Ce problème a pour but principal l’étude des coefficients diagonaux des diverses matrices semblables à une matrice donnée.
On désigne parnun entier2, parMn(R)l’espace des matrices à coefficients réels, àn lignes etncolonnes, et parIla matrice identité; on appellescalairesles matrices de la forme λIλest un réel. On rappelle que deux matricesAetBsont ditessemblabless’il existe 1 une matrice inversibleQvérifiantB=Q A Q, c’est-à-dire siAetBreprésentent un même n n endomorphisme deRdans deux bases deR.
Première partie
1.Démontrer les assertions suivantes :
n a)Si une matriceAest non scalaire, il existe un vecteurXdeR, non nul et non vecteur propre pourA.
b)SoitAMn(R), ietj∈ {1, . . ., n}. Il existe une matriceBsemblable àAtelle que
bi,i=aj,j, bj,j=ai,i, bk,k=ak,k
pour toutk=.i, j
Deuxième partie
2.On se donne une matriceAdeMn(R)de trace nulle et on se propose de démontrer qu’il existe une matriceBsemblable àAayant tous ses coefficients diagonaux nuls.
n a)Montrer que siAest non nulle, il existe une base(X1, X, . . .n)deRtelle que AX1=X2.
b)Conclure en procédant par récurrence surn.
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