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ESSEC M B A
CONCOURS D’ADMISSION
Option technologique
MATHEMATIQUES I
Lapr´esentation,lalisibilite´,lorthographe,laqualite´delare´daction,laclart´eetlapr´ecisiondesraisonnements entrerontpourunepartimportantedanslappr´eciationdescopies. Lescandidatssontinvite´s`aencadreruderssopelbirseldalanssumeaccllu.s´esultatsdeleurs Ilsnedoiventfaireusagedaucundocument;lutilisationdetoutecalculatriceetdetoutmate´riele´lectronique estinterdite.Seulelutilisationdunere`glegradue´eestautoris´ee. Siaucoursdel´epreuveuncandidatrep`erecequiluisembleuneerreurde´nonce´,illesignalerasursacopieet poursuivrasacompositionenexpliquantlesraisonsdesinitiativesquilseraamen´ea`prendre.
ExerciceI:Unproble`medeplacement. On se propose de comparer les deux placements suivants: placerautauxdint´erˆetrune somme 2Spendantt.seen´an placerautauxdint´erˆet2r. une somme 2Spendanttnnaes´e. 1.Expressionsdessommesobtenues`alissuedetanne´seedlpca.tneme (a)Onplaceunesommede25francsautauxdint´erˆetrneanantupendt-e-ondimeossplleumoseee´nqeD. `alissuedelanne´edeplacement? (b)D´eterminerlasommeS1(ttbneeuneo)taauduxa¸plntcat´tnieˆrerune somme de 25 francs durantt anne´es. (c) Onplace une somme deS´treeˆ2tnidxuatuascnarfrpneadtnuneann´ee.Dequeloseldemmopsit-esn-o `alissuedelanne´edeplacement? (d)D´eterminerlasommeS2(trˆ´e2etxdauntietbo)lanpeenuuttaan¸crune somme deSfrancs durantt ann´ees. (e)De´terminerenfonctionderomenllee´rerbtpine´delit´´egaarlS1(t) =S2(t). 2.Etudedutempsde´galisationdessommesobtenuesenfonctionder. Onposepourtoutnombrere´elstrictementpositifr: ln 2 T(r) = ln (1 + 2r)ln (1 +r) (a)D´eterminerlad´eriv´eeetlesensdevariationsur]0;+[ de la fonctionr7ln (1 + 2r)ln (1 +r).
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