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ESSEC M B A
CONCOURS D’ADMISSION
Option scientifique
MATHEMATIQUES II
Lapr´esentation,lalisibilit´e,lorthographe,laqualite´delar´edaction,laclarte´etlapr´ecisiondesraisonnements entrerontpourunepartimportantedanslappr´eciationdescopies. Lescandidatssontinvit´esa`encadrerpudeissolelb´rseandamslureslaucsl.esultatsdeleursc Ilsnedoiventfaireusagedaucundocument;lutilisationdetoutecalculatriceetdetoutmate´riele´lectronique estinterdite.Seulelutilisationdunere`glegradue´eestautorise´e. Siaucoursdele´preuveuncandidatrep`erecequiluisembleuneerreurde´nonc´e,illesignalerasursacopieet poursuivrasacompositionenexpliquantlesraisonsdesinitiativesquilseraamene´a`prendre.
Lobjectifdeceproble`meestle´tudedelamode´lisationdelaccroissementdunepopulation,tantparlesnaissances que par l’immigration. Cettee´tudeesteectu´eedanslapartieII,tandisque,danslapartieI,on´etablitunr´esultatprobabiliste pr´eliminaire. Danstoutleproble`meenn,onadmettraquelonapourtoutcoupledenombresre´els(α,x) tel queα >0 et 06x <1, la formule suivante, diteeˆeo:meg´enu´leerdaluibsi´nofmr 1α(α+ 1)α(α+ 1). . .(α+n1) 2n = 1 +αx+x+∙ ∙ ∙+x+. . . α (1x) 2!n! cest-`a-dire +X 1α(α+ 1). . .(α+n1) n =x α (1x)n! n=0 +P k1n Onexplicitera,a`laidedecetteformule,lasommedelas´erieC xpour 06x <1. n+k1 n=0 Quelles formules classiques reconnaˆıt-on pourα= 1 et 2?
Partie 1 One´tudiedanscettepartieuneloideprobabilit´e,ditetavi.eaiel´ngeloibinomsevuerpe´detuiesunre`eidnsconO deBernoulliidentiques,inde´pendantesetmenantausucce`saveclaprobabilite´p(0< p <1). Pour tout nombre entierk>dno,1arpengise´Xkvalaalleabrium´etlenl´erodeioere´tauqnaniiduveo`preu intervient lekets(`euscce`emi-Xkonddenpre´pussruelavsedcu´egalesrieuresoa`k).
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