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ESSEC 2000. Math 1 option scientifique Danslensembleduproble`me,onde´signeparnun nombre entier naturel non nul et par IRn[X] lespacevectorieldesfonctions-polynˆomesdedegr´einfe´rieurou´egal`an. On note Pnle sous-ensemble de IRn[Xer´foncedesorm´]fsemoˆnylop-snoitegedtdsereaiitunn, n autrementditdesfonctions-polynˆomesdedegr´enet dont le coefficient dexes.1`aalegt´ Lobjectifduproble`meestded´eterminerdesfonctions-polynoˆmesP`antaParppnatentnet´raeilas le minimum sur Pnde chacune des trois expressions suivantes : s Z Z +1 +1 2 N1(P) =|P(x)|dx;N2(P) =P(x) dx;N(Psup) =|P(x)| 111x1 Lestroispartiesduproble`mesontconsacr´ees`alar´esolutiondestroisprobl`emesainsid´enis.La partie1estind´ependantedesdeuxsuivantes.
Partie 1Minimisation deN2(P)pourPcr´edvinatPn Onassocie`atoutcouple(P, Qsnoilop-fed)tcnoReIˆoynsdmen[X:tnaerbr]olmenivsuel´e Z 1 hP, Qi=P(t)Q(t) dt 0 1)Montrer que l’application (P, Q)7→ hP, QiutinorpntiudlacsairesurIRed´n[X]. 2)nOocsndie`eralofnoitcnftnaicossautto`an-uplet (x0, x1, . . . xn1elssr´embreedon) lexpressionsuivante(quirepre´sentelecarre´deladistanceentrelesdeuxfonctions-n n1 polynˆomest7→tett7→xn1t+∙ ∙ ∙+x1t+x0de IRn[X]) : Z 1 n n1n2 2 f(x0, x1, . . . , xn1() =txn1txn2t− ∙ ∙ ∙ −x1tx0) dt 0 a)elt-npu´rpcevaretiCcesioilnte´hoe`remepermettantdaemrelrtsixecneleticun´eitund(a0, a1, . . . , an1)risan´ealminimeltose´d(muotsnairm´emn) de l’expressionf(x0, x1, . . . , xn) n lorsque (x0, x1, . . . , xn1RI,teomd)e´rctisceuerqrentnmbnoslee´rsera0, a1, . . . , an1 v´erientlesnrelations suivantes : Z 1 n n1n2k (tan1tan2t− ∙ ∙ ∙ −a1ta0)tdt0o`u0=k < n 0 On explicitera cesnrelations en calculant lesnci-drantspoure0ssu´tgenisugarelk < n. b)osepOnpelree´morbuontuotrxdistinct de1,2, . . .n,n1 : 1an1an2a1a0 F(x) =− −− ∙ ∙ ∙ − x+n+ 1x+n x+n1x+ 2x+ 1 Etablirlexistencedunre´elatel que l’on ait pourxdistinct de1,2, . . .n,n1 : (x+n+ 1)(x+n)(x+n1)∙ ∙ ∙(x+ 2)(x+ 1)F(x) =ax(x1)(x2)∙ ∙ ∙(xn+ 1). De´terminerlavaleurdeaen faisant tendrexversn1 dans chacun des deux membres dele´galite´pre´c´edente(onexprimeraaen fonction den! et (2n)!). c)lbrile´Eatse´tilag:etnaviu Z 1 n n1n2n mn=f(a0, a1, . . . , an1() =tan1tan2t− ∙ ∙ ∙ −a1ta0)tdt 0 4 (n!) d)Etablir enfin quemn=F(nque)tene´ddeiuermn= . (2n)!(2n+ 1)! 3)uomtiatnnenaltpeOnr´esasimnoitedblrome`eladenimiN2(P) lorsquePditP´ecrn. a)uotrPofcnuoetol-pontimeˆoynPanetrappaPa`tnn, effectuer le changement de variables d´eniparx= 2tdesionrpselxeadsnartnalgrgueisl´entnad1N2(Ptend)e:euqeriude´ n N2(P)2 2mn. b)erdedu´imEinlemuniemdN2(P) lorsquePritPce´dn.