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ESSEC CONCOURS D’ADMISSION 2000 Option´economique Mathe´matiquesIII Mardi9Mai2000de8ha`12h ——————————————
Lapr´esentation,lalisibilite´,lorthographe,laqualite´delar´edaction,laclart´eetlapre´cisiondesraisonnementsentreront pourunepartimportantedanslappre´ciationdescopies.Lescandidatssontinvit´es`aencadrerdanslamesuredupossible lesr´esultatsdeleurscalculs.Ilsnedoiventfaireusagedaucundocument;lutilisationdetoutecalculatriceetdetout mate´riel´electroniqueestinterdite.Seulelutilisationdunere`glegradu´eeestautoris´ee.
EXERCICE 1(Fonction de production de Cobb-Douglas) UneentrepriseproduitdesbiensBdontlafabricationne´cessite: ncutaerovniemulehdserusegi,l´dvaiaedrtarn´epxdans la suite (avecx >0). cnu´edmeluvointaerstd,e´isuqpimenegn´eparydans la suite (avecy >0). Onsupposequelaquantit´edebiensBproduitsavecunvolumedheuresdetravail´egala`xet un volume de´quipementse´gala`yest : a b f(x, y) =x y o`ua,bsegientnedxuonbmd´0euqsletslee´rser< a <1 et 0< b <1. Onsupposeennlecouˆthorairedutravaile´gala`u´sgelaa`iuepemtndereeqs´unutaiitlteˆocevde sorte que le coˆutdelaproductiona`volumesdetravailetd´equipementsxetye´nntses:od g(x, y) =ux+vy. 1.Rendementde´chellea+b. Onmultiplieparunemeˆmeconstanteλ >0 le volumexdes heures de travail et le volumeydes ´equipements.Parquelfacteurestmultipli´eelaquantite´produite? Commentinterpre´ter´economiquementlapositiondunombrea+brrapporta`?1pa ´ 2. Etuded’un cas particulier. On suppose dans cette question (et seulement dans celle-ci) quea=b= 1/2 etu= 4,v= 1. (a)V´erierquelensembledespoints(x, y) avecx >0,y >0 tels quef(x, yes=2)rbouactlqeaude´itno y= 4/x. (b)D´eterminerunee´quationdelatangentea`lacourbed´equationy= 4/xau point d’abscisse 1. (c)Construiresurunemˆemegure(unite´2cm)lesensemblesdespoints(x, y) tels que : x >0,y >0 etf(x, y) = 2. x >0,y >0 etg(x, y) = 8. x >0,y >0 etg(x, y) = 10. De´terminerlespointsdintersectiondupremierdecesensemblesaveclesdeuxsuivantsetdonner uneinterpre´tationdecespointsentermesdeproductionetdecouˆtdeproduction. (d)R´epondreauxdeuxquestionssuivantesenjustiantgraphiquementvotreraisonnement: Pourroduunepmilaleuelestˆucointmoitcge´n`elaq,2aKenvisageable ? aluqPnoauirtu´ntcpoeˆourtu´degal`a8,quelleestemitimaxealQenvisageable ?
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