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ESSEC M B A
CONCOURS DADMISSION
Option scientique
MATHEMATIQUESI
Année 2001
La présentation, la lisibilité, lorthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans lappréciation des copies. Les candidats sont invités àencadrerdans la mesure du possible les résultats de leurs calculs. Ils ne doivent faire usage daucun document; lutilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite.Seule lutilisation dune règle graduée est autorisée. Si au cours de lépreuve un candidat repère ce qui lui semble une erreur dénoncé, il le signalera sur sa copie et poursuivra sa composition en expliquant les raisons des initiatives quil sera amené à prendre.
Problème On étudie dans ce problème la suite(Sn)dénie pourn>1par: n X 1 11 1 S= 1 ++ +  +cest-à-direS= n n 2 2 4 9n p p=1 Dans lapartie I, on détermine la limiteSde la suite(Sn)les. Dansparties IIetIII, on explicite deux méthodes indépendantes permettant daccélérer la convergence de(Sn)versS.
Partie I On considère pour tout nombre entierp>0les deux intégrales suivantes:   Z2Z2 2p2 2p Ip= cos(t)dt Jp=tcos (t)dt: 0 0 Jp 1. Convergencede la suite( ). Ip   (a) Etablirlinégalité suivante pour tout nombre réelttel que06t6:t6sin(t). 2 2 1/4
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