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ESSEC 2001 mathematiques i classe prepa hec (ecs)

4 pages
ESSECM B ACONCOURS D’ADMISSIONOption scienti queMATHEMATIQUES IAnnØe 2001La prØsentation, la lisibilitØ, l orthographe, la qualitØ de la rØdaction, la clartØ et la prØcision des raisonnementsentreront pour une part importante dans l apprØciation des copies.Les candidats sont invitØs à encadrer dans la mesure du possible les rØsultats de leurs calculs.Ils ne doivent faire usage d aucun document; l utilisation de toute calculatrice et de tout matØriel Ølectroniqueest interdite. Seule l utilisation d’une rŁgle graduØe est autorisØe.Si au cours de l’Øpreuve un candidat repŁre ce qui lui semble une erreur d ØnoncØ, il le signalera sur sa copie etpoursuivra sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu il sera amenØ à prendre.ProblŁmeOn Øtudie dans ce problŁme la suite (S ) dØ…nie pour n> 1 par:nnX1 1 1 1S = 1+ + ++ c est- -dire S =n n2 24 9 n pp=1Dans lapartie I, on dØtermine la limite S de la suite (S ). Dans lesparties II etIII, on explicite deux mØthodesnindØpendantes permettant d’accØlØrer la convergence de (S ) vers S.nPartie IOn considŁre pour tout nombre entier p> 0 les deux intØgrales suivantes: 2 2Z Z2p 2 2pI = cos (t)dt J = t cos (t)dt:p p0 0Jp1. Convergence de la suite ( ).Ip (a) Etablir l inØgalitØ suivante pour tout nombre rØel t tel que 06 t6 : t6 sin(t).2 21/42(b) Etablir l’inØgalitØ suivante pour tout nombre entier p> 0: 06 J 6 (I I ).p p p+14(c) Exprimer I en fonction de I en intØgrant par parties inl ...
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ESSEC M B A
CONCOURS DADMISSION
Option scientique
MATHEMATIQUESI
Année 2001
La présentation, la lisibilité, lorthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans lappréciation des copies. Les candidats sont invités àencadrerdans la mesure du possible les résultats de leurs calculs. Ils ne doivent faire usage daucun document; lutilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite.Seule lutilisation dune règle graduée est autorisée. Si au cours de lépreuve un candidat repère ce qui lui semble une erreur dénoncé, il le signalera sur sa copie et poursuivra sa composition en expliquant les raisons des initiatives quil sera amené à prendre.
Problème On étudie dans ce problème la suite(Sn)dénie pourn>1par: n X 1 11 1 S= 1 ++ +  +cest-à-direS= n n 2 2 4 9n p p=1 Dans lapartie I, on détermine la limiteSde la suite(Sn)les. Dansparties IIetIII, on explicite deux méthodes indépendantes permettant daccélérer la convergence de(Sn)versS.
Partie I On considère pour tout nombre entierp>0les deux intégrales suivantes:   Z2Z2 2p2 2p Ip= cos(t)dt Jp=tcos (t)dt: 0 0 Jp 1. Convergencede la suite( ). Ip   (a) Etablirlinégalité suivante pour tout nombre réelttel que06t6:t6sin(t). 2 2 1/4
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