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ESSEC 2001 mathematiques ii classe prepa hec (ece)

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ESSECM B ACONCOURS D’ADMISSIONOption ØconomiqueMATHEMATIQUES IIAnnØe 2001La prØsentation, la lisibilitØ, l orthographe, la qualitØ de la rØdaction, la clartØ et la prØcision des raisonnementsentreront pour une part importante dans l apprØciation des copies.Les candidats sont invitØs à encadrer dans la mesure du possible les rØsultats de leurs calculs.Ils ne doivent faire usage d aucun document; l utilisation de toute calculatrice et de tout matØriel Ølectroniqueest interdite. Seule l utilisation d’une rŁgle graduØe est autorisØe.Si au cours de l Øpreuve un candidat repŁre ce qui lui semble une erreur d ØnoncØ, il le signalera sur sacopie et poursuivra sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu il sera amenØ à prendre .Le but du problŁme est l’Øtude du coe¢ cient de corrØlation linØaire de deux variables alØatoires qu on aborded abord de fa on gØnØrale ( partie I), puis dans un cas particulier (partie II).PARTIE IOnconsidŁredeuxvariablesalØatoiresX etY dØ…niessurunmŒmeespaceprobabilisØetadmettantdesespØrancesE(X) et E(Y) et des variances V(X) et V(Y) et on suppose V(X)> 0 (on rappelle que V(X) = 0 si et seulementsi, avec une probabilitØ Øgale à 1, X est constante). La covariance des deux variables alØatoires X et Y (quecelles-ci soient discrŁtes ou à densitØ) est alors le nombre rØel dØ ni par :Cov(X;Y) =E[(X E(X))(Y E(Y))]; ou encore E(XY) E(X)E(Y):1. Covariance des variables alØatoires X et Y(a) Exprimer Cov( X +Y; X +Y) en ...
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ESSEC M B A
CONCOURS DADMISSION
Option économique
MATHEMATIQUESII
Année 2001
La présentation, la lisibilité, lorthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans lappréciation des copies. Les candidats sont invités àencadrerdans la mesure du possible les résultats de leurs calculs. Ils ne doivent faire usage daucun document; lutilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite.Seule lutilisation dune règle graduée est autorisée. Si au cours de lépreuve un candidat repère ce qui lui semble une erreur dénoncé, il le signalera sur sa copie et poursuivra sa composition en expliquant les raisons des initiatives quil sera amené à prendre.
Le but du problème est létude du coe¢ cient de corrélation linéaire de deux variables aléatoires quon aborde dabord de façon générale (partie I), puis dans un cas particulier (partie II).
PARTIE I On considère deux variables aléatoiresXetYdénies sur un même espace probabilisé et admettant des espérances E(X)etE(Y)et des variancesV(X)etV(Y)et on supposeV(X)>0(on rappelle queV(X) = 0si et seulement si, avec une probabilité égale à1,Xest constante).La covariance des deux variables aléatoiresXetY(que celles-ci soient discrètes ou à densité) est alors le nombre réel déni par :
Cov(X; Y) =E[(XE(X))(YE(Y))];ou encoreE(XY)E(X)E(Y):
1.Covariance des variables aléatoiresXetY
(a) ExprimerCov(X+Y; X+Y)en fonction deV(X+Y)et en déduire la formule suivante pour tout nombre réel: 2 V(X+Y) = V(X) + 2Cov(X; Y) +V(Y):
2 (b) Endéduire que(Cov(X; Y))6V(X)V(Y): 2 A quelle condition nécessaire et su¢ sante a-t-on légalité((Cov(X; Y)) =V(X)V(Y)?
2.Coe¢ cient de corrélation linéaire des variables aléatoiresXetY: On suppose dans cette question les variancesV(X)etV(Y)deXetYstrictement positives.
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