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ESSEC. CONCOURS D’ADMISSION DE 2001 ´ Option scientifique. MATHEMATIQUES II
Lebutduprobl`emeestl´etudeducoecientdecorr´elationline´airededeuxvariablesal´eatoires quonabordedaborddefa¸cong´ene´rale(partieI),puisdansuncasparticulier(partieII).
Partie I Onconside`redeuxvariablesal´eatoiresXetYe´deinpeorabibil´seetssurunmˆemeespac admettantdesesp´erancesE(X) etE(Y) et des variancesV(X) etV(Y) et on supposeV(X)>0 (on rappelle queV(X)=ie0s,1a`elage´abilit´ecuneprobtnisa,evstueelemXest constante). Lacovariancedesdeuxvariablesale´atoiresXetYenadu`soese)t´sit(quees-ccellnedtsiioe`etsirc alorslenombrere´eld´enipar Cov(X, Y) =E[(XE(X))(YE(Y))],ou encoreE(XY)E(X)E(Y) 1)seseavcnderaaiCvotoirl´ealesariabXetY a)Exprimer Cov(λX+Y, λX+Y) en fonction deV(λX+Ynavietumrouselduirelaf)etend´e pourtoutnombrere´elλ: 2 V(λX+Y) =λ V(X) + 2λCov(X, Y) +V(Y)  2 b)(Cvond´eEequeduirX, Y)V(X)V(Y).  2 Aquelleconditionne´cessaireetsusantea-t-onle´galit´eCov(X, Y) =V(X)V(Y) ? 2)esaliablsvarredee´ialnnitaoi´rleorectdencieCostae´erioXetY On suppose dans cette question les variancesV(X) etV(Y) deXetYstrictement positives. a)airexErpmienciectdleerecolnoie´ni´rrotaleρablevaridesriseaeotas´lXetYen fonction de Cov(X, Yt-pysestrace´sedte)σ(X) etσ(Yiotaser)desvariablesal´eXetYet montrer queρ[tna`paapiert1,+1]. Pre´ciserdeplusa`quelleconditionne´cessaireetsusanteρ`aalesegt´1 ou +1. b)Donner la valeur deρesiras´laeotavirbaelrsquelesloXetY.setnadneped´inntso 2 c)On suppose enfin queXlaceonmrleiotinurtnseuree´ude´etiN(0,1) et queY=X. Pr´eciserlesespe´rancesetlesvariancesdeXetYainsi que la covariance et le coefficient de corr´elationdeXetYniostlar´lorsiera.Etudqaeudeleoruqcepi2)b). Partie II 1)siminairele´rpsluclaC a)atsnelurenesertisOnconuenxmorbis`dredeqetntels quenq. Enraisonnantparr´ecurrencesurnlrilbateelumrofateanivsu,´: n X q q+1 C =C k n+1 k=q b)En faisantq= 1,2,iudenuerpxeessernfiotoacs´rideee:setnaivsuesmmsoi3s,reonsdt´ n nn X XX k;k(k1) ;k(k1)(k2) k=1k=2k=3 Onconside`redanstoutelasuitedecettepartiedeuxnombresentierspetntels que 1pn et une urne contenantnjumsnonet´tsee´oraed`1nraitnexttteudeceO.tsenrlumi´natneme et au hasardporspar:tojesnteno´dsegienla Xqiautnellplsauveapriitableal´eatoireindestdm´nuosersdepotejitsnse´r. Ydnqiriieellpautniablavareatoeal´sedsolddangruserm´nuespej´ritsnotse. On noteE(X),V(X) etE(Y),V(Y)lessioere´taselaarsvblianciadeesesecravt´psenareX etY.