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´ ESSEC 2002, Option scientifique, MATHEMATIQUES I Danslasuite,ond´esigneparnunreennombus´pitreruuoreeia2l`ga´erpaetRn[X] l’espace vectorieldespolynˆomesdedegr´einf´erieuroue´gala`n. Onrappellequunpolynˆomenonnulestditunitairelorsquesoncoecientdominant(cest`adire lecoecientdesontermedeplushautdegr´e)est´egal`a1. Lobjetduprobl`emeestle´tudedesextremadunefonctiondeplusieursvariables(partieII). Aceteet,on´etudieauparavant,danslapartieI,unefamilledepolynoˆmesdeRn[X] et leurs racines. Lesdeuxpartiesnesontpasind´ependantes,maisonpourraadmettredesre´sultatsdelapartieI pour pouvoir traiter la partie II. Partie I 1)D´enitiondunendomorphismeφdeRn[X] 0 a)emoˆnyloatErilbitnoilacappuqleoutpt`atcianassoPdeRn[X]eomnˆlypoleφ(P) = 2xP0 00 P`ou(PetPerpse`imire´ee´vedndeetrecosenentlesdd´esigP) est un endomorphisme de Rn[X]. 2n b)Ecrire sa matrice dans la base canonique (1, . . . , x, x, x) deRn[X]. 2)Ele´mentspropresdelendomorphismeφ a)´Dtereesprropsruelavselrenimλ0, λ1, . . . , λndeφ(on supposera queλ0λ1. . .λnet montrer queφest diagonalisable. b)Montrer, pour tout nombre entierptel que 0pn,quileynolmeˆoutsnueplixtsueen unitaireHpdeRn[Xe´v]airnt: 00 0 H2xH+ 2pHp= 0 p p c)Montrer, pour tout nombre entierptel que 0pn, queHpsente´ecssiarementdedegr´e p. d)xEcilpretipselynolmeˆosH0, H1, H2, H3dans la base canonique deRn[X] et calculer les p1p2 coefficients dex(1pn) et dex(2pnerpxoissnad)elsˆomendupolynHp. 3)De´nitiondunproduitscalairesurRn[X] a)qrertnoMuoesedssce-irctile´eegraint´ueloutce(pl´dtsineuopeuotrP, Q) deRn[X] : Z +2 hP, Qi=P(x)Q(x) exp(x) dx −∞ b)Montrer alors que l’application (P, Q)Rn[X]×Rn[X]→ hP, Qi ∈Rdnuiittudn´pero scalaire surRn[X]. 02 2 c)deeev´ri´eadrlmepxirEx7→P(x).exp(x) en fonction deφ(P)(x).exp(x), puis prouver qu’on a pour tout couple (P, Q) deRn[X] : hφ(P), Qi=hP, φ(Q)i d)qeriude´EndeuhHp, Hqi= 0 lorsquepetqsont deux nombres entiers distincts compris entre 0 etn, puis que (H0, H1, . . . , Hn) forme une base orthogonale pour ce produit scalaire. Montrer enfin quehHp, Qiˆnylemotourpoutpo=0Qappanetrant`aRp1[X] (1pn). 4)EtudedesracinesdespolynoˆmesHp(1pn) a)Montrer, en remarquant quehHp, H0i0,qu=pelenyloemoˆHps’annule au moins une fois surRen changeant de signe. b)On notea1, a2, . . . , amles racines distinctes deHpen lesquelles celui-ci s’annule et change de signe (avec bien entendump) et on pose alorsPm(x) = (xa1)(xa2). . .(xam). EtudierlesignedupolynoˆmeHpPmlaee´rgitndrleavrleualeretnemi´dtehHp, Pmisim < p, puisende´duirequem=p. c)puoeleeqniˆrldyue´eonmdEHpadmetpracines simples dansR.