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ESSEC 2003, Math 1, option S.
Danstoutleprobl`eme,onde´signeparnun entier naturel et par : Rn[x´freeiruedrge´niaou´egal`]lecevseapldieorcttincfoesylop-snoedsemoˆnn. n n C(Reslcsaseedeellceveirotel)capsioctr´nsdeelonsfCsurR. 0 En particulier,C(Rtnoceunirussctonnsioeer´esllpseltse)sfdeelritoecevacR. 0 A toute fonctionfraetantna`appC(Ronnoitacee´tcisoasonlippael,)φfesureni´dRpar : Z x φf(x) =f(t) dt x1 0 Onde´nitainsiunendomorphismeφde l’espace vectorielC(R) dont on se propose dans la suite d´etudierquelquesproprie´t´esautraversdepartiesquisontlargementind´ependantes.
PartieI:G´ene´ralite´s.
1)´eetesdaDqettecsnuestion,on´etudiqeeuqleupsorrp´iφfen fonction de celles def. a)nocnoitcnofetuotenutiagille´vurePorpournte,uivat´esfmbnouttoeert´reelx: Z 1 φf(x) =f(x+u1) du 0 b)On suppose la fonctionfpaire (resp. impaire). Exprimerφf(x) en fonction deφf(x+ 1). c)On suppose la fonctionfrc-celecasdeorceassi)etntsE.ssoiteanes(rd´p.φf? d)On suppose la fonctionfconvexe (resp. concave). Est-ce le cas deφf? e)On suppose que la fonctionfa une limiteLen±∞. Est-ce le cas deφf? 2)´pehtiusdmieeilnsteinodno,moonrecttqeeuudtiaapDsrnφsurRn[x]. a)Montrer queRn[x] est stable parφ. On note alorsφnl’endomorphisme induit parφsur Rn[x]. b)rtcideeamalrenimrete´Dφndans la base canonique deRn[x]. c)evtcseterppouesreresd´Dreteenimesrllevaspurprroφn. 3)e´tiedjeurivctenestc´eastDlatseuqette´no,noiieldituvitiecnjφ. 0 1 a)Montrer, pour toute fonctionfdeC(R), queφfest de classeCire´dasresice´rpetr.Pouv´ee   k j quelles valeurs du nombre entierjl’espace vectorielφ C(R) est-ilinclus dansC(R) ? b)Montrer que Ker(φctonsfdep´1-nsioe)e´mroftsralet´egesurnulliduqreoidniseteode.´eriunep c)L’endomorphismeφest-il surjectif? injectif? 4)derospesprtecsnaDon,on´ettequestilee´emtndueiel´sφ. a)orrpuOenprenuerlavesnoce`diλ, de l’endomorphismeφdtnemertbmonnutileer´re,auλ 0 tel qu’il existe une fonction non nullefnanea`tappartC(Ranit)re´vφf=λf. Montrer que toute fonction propref´icossarperproaleuunevee`aλ6-ta`cse=,0teir-douet fonction continue non nulleftelle queφf=λfseasrimee,ts´ncealcedtneessCsurR. b)esnˆomcnitseofopylno-selQutlonsslefqui sont fonctions propres deφ? c)ntMor,reurpoottuonbmer´reelλ >0, qu’il existe une et une seule fonction exponentiellef ax d´enieparf(x() = eaR) telle queφf=λf. End´eduirequetoutnombrere´elλ >0 est valeur propre deφ. d)r´eeltuonbmer,ropruotertnoMλ >,quelaseee1bnoi´nrofelutcnofappartenant au sous-espacepropreassocie´`aλest la fonction nulle. Danslasuiteduproble`me,on´etudielesous-espacepropreE1(φ)associ´e`lavalaueprorrpe 1,cest-`a-direlensembledesfonctionscontinuesfnatreiv´φf(x) =f(x) pour tout nombre r´eelx, ou : Z x f(t) dt=f(x) x1