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Option´economique
MATHEMATIQUES II
Lundi12mai2003de8h`a12h
Lapr´esentation,lalisibilit´e,lorthographe,laqualit´edelare´daction,laclart´eetlapre´cisiondesraisonnements entrerontpourunepartimportantedanslappre´ciationdescopies. Lescandidatssontinvite´sa`encadreradalsnlccarseus.ulelrse´ustltadslemesuredupossible Ilsnedoiventfaireusagedaucundocument;lutilisationdetoutecalculatriceetdetoutmate´riel´electronique estinterdite.Seulelutilisationdunere`glegradu´eeestautorise´e. Siaucoursdel´epreuveuncandidatrepe`recequiluisembleˆetreuneerreurde´nonce´,illesignalerasursacopie etpoursuivrasacompositionenexpliquantlesraisonsdesinitiativesquilseraamen´ea`prendre.
Lobjectifduproble`meestde´tudierlesrudimentsdelammoccinueiroaledth´eioatn´ethieorou-de l’information - introduite en 1948 par Claude Shannon.
De´nitionsetnotations ,A, Pgisenuenapserpecobabilis´e.d´) ln(x) ϕfanotcoidne´nei0]ersutsl,1] parx7→ϕ(x) =. ln(2) Pourun´eve´nementAt´enbilirobadepopnoesunno,elli(A) =ϕ(P(A)). htlessur[0dne´neifanotcoi,1] par ln(x) het pour(0) = 0x]0,1], h(x) =x ln(2) Pourunevariableale´atoireXr(Ωiesu´enetedid`rcs,A, Prse´elrua`av)ussosepoons,leelevrese´r d’existence : X H(X) =h(P(X=x)) xX(Ω) SiXlavasruesnadnenumbsenleiest`{x1, x2, . . . , xn}, alorsH(X) existe et, en notantpk=P(X=xk), on a : n n X X H(X) =h(P(X=xk)) =h(pk) k=1k=1 Remarque:Enthe´oriedelinformation,i(A)tspaep´leetnemene´ve´ldedetutiernciAetH(X)est l’incertitude moyenne- ouentropie- deX.
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