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ESSEC 2003 mathematiques ii classe prepa hec (ece)

4 pages
CONCOURS D’ADMISSION DE 2003Option ´economiqueMATHEMATIQUES IILundi 12 mai 2003 de 8h `a 12hLa pr´esentation, la lisibilit´e, l’orthographe, la qualit´e de la r´edaction, la clart´e et la pr´ecision des raisonnementsentreront pour une part importante dans l’appr´eciation des copies.Les candidats sont invit´es `a encadrer dans la mesure du possible les r´esultats de leurs calculs.Ils ne doivent faire usage d’aucun document; l’utilisation de toute calculatrice et de tout mat´eriel ´electroniqueest interdite. Seule l’utilisation d’une r`egle gradu´ee est autoris´ee.Si au cours de l’´epreuve un candidat rep`ere ce qui lui semble ˆetre une erreur d’´enonc´e, il le signalera sur sa copieet poursuivra sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il sera amen´e `a prendre.L’objectif du probl`eme est d’´etudier les rudiments de lath´eoriedelacommunication - ou th´eoriede l’information - introduite en 1948 par Claude Shannon.D´efinitions et notations(Ω,A,P) d´esigne un espace probabilis´e.ln(x)ϕ est la fonction d´efinie sur ]0,1] par x7→ϕ(x) =− .ln(2)Pour un ´ev´enement A de probabilit´e non nulle, on pose i(A) =ϕ(P(A)).h est la fonction d´efinie sur [0,1] parln(x)h(0) = 0 et pour x∈]0,1], h(x) =−xln(2)Pourunevariableal´eatoireX discr`eted´efiniesur(Ω,A,P)`avaleursr´eelles,onposesousr´eserved’existence : XH(X) = h(P(X =x))x∈X(Ω)Si X est a` valeurs dans un ensemble fini{x ,x ,...,x }, alors H(X) existe et,1 2 nen notant p =P(X =x ), on a :k kn ...
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CONCOURS D’ADMISSION DE 2003
Option´economique
MATHEMATIQUES II
Lundi12mai2003de8h`a12h
Lapr´esentation,lalisibilit´e,lorthographe,laqualit´edelare´daction,laclart´eetlapre´cisiondesraisonnements entrerontpourunepartimportantedanslappre´ciationdescopies. Lescandidatssontinvite´sa`encadreradalsnlccarseus.ulelrse´ustltadslemesuredupossible Ilsnedoiventfaireusagedaucundocument;lutilisationdetoutecalculatriceetdetoutmate´riel´electronique estinterdite.Seulelutilisationdunere`glegradu´eeestautorise´e. Siaucoursdel´epreuveuncandidatrepe`recequiluisembleˆetreuneerreurde´nonce´,illesignalerasursacopie etpoursuivrasacompositionenexpliquantlesraisonsdesinitiativesquilseraamen´ea`prendre.
Lobjectifduproble`meestde´tudierlesrudimentsdelammoccinueiroaledth´eioatn´ethieorou-de l’information - introduite en 1948 par Claude Shannon.
De´nitionsetnotations ,A, Pgisenuenapserpecobabilis´e.d´) ln(x) ϕfanotcoidne´nei0]ersutsl,1] parx7→ϕ(x) =. ln(2) Pourun´eve´nementAt´enbilirobadepopnoesunno,elli(A) =ϕ(P(A)). htlessur[0dne´neifanotcoi,1] par ln(x) het pour(0) = 0x]0,1], h(x) =x ln(2) Pourunevariableale´atoireXr(Ωiesu´enetedid`rcs,A, Prse´elrua`av)ussosepoons,leelevrese´r d’existence : X H(X) =h(P(X=x)) xX(Ω) SiXlavasruesnadnenumbsenleiest`{x1, x2, . . . , xn}, alorsH(X) existe et, en notantpk=P(X=xk), on a : n n X X H(X) =h(P(X=xk)) =h(pk) k=1k=1 Remarque:Enthe´oriedelinformation,i(A)tspaep´leetnemene´ve´ldedetutiernciAetH(X)est l’incertitude moyenne- ouentropie- deX.
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