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ESSEC 2004, math 1, option scientifique
NotationsDansceproble`me,onde´signeparnun nombre entier naturel non nul et on convient n d’identifier tout vecteurXdeR`lamaolonnedeatrice-ctnassecsesopmox1, x2, . . . , xndans la n base canonique deRe:adirest`,c  x1 x2   X=   . xn t Latranspose´edunetellematriceXest la matrice-ligneX= (x1, x2, . . . , xn). Le produit scalaire n canonique d’un vecteurXet d’un vecteurYdeRe´agolsresta`l:a n X t hX, Yi=XY=xiyi i=1 p La norme euclidienne deXe´neiaprsedt||X||=hX, Xiet on dira qu’une suite de vecteurs n n (Xp) deRconverge vers un vecteurXdeRsi la suite||XpX||converge vers 0. Pournir,ond´esignepar -Intit´edordretamaledi-ecirn -Aquri´eerleelorderdnumetairecys´mten.
Partie I :Etude d’une suite de vecteurs
n 1)Dans cette question, on noteCun vecteur non nul de composantesc1, c2. . . , cndeR. t t a)Expliciter le produit matricielC C. La matriceC C?est-elle diagonalisable t 2t b)Exprimer (C C) enfonction deC Cet de la norme deC. t 2 c)edoutevaleurproprenEde´deriuteuqC Cetse´agela`a`uo0||C||. d)0.´e`aosicersarppoapecess-ouesrlseci´erP t 2 CalculerC CCen fonction deCoci´e`aorrpaesse-pscapeleerussor´tpisece||C||. t e)icerelanatuEnd´eduiodompriheredlneueiqntmeecsmonanala`rtamossae´icC C. Montrer qu’il s’agit d’une projection orthogonale lorsque le vecteurCest unitaire. n 2)Danscettequest,noi´dnogiseapenrXetYdeux vecteurs deR. ´ t tt t2 tt tt a)Etablir queXY=Y X,XAY=hX, AYi=hAX, Yi, (XY) =X(Y Y)X=Y(X X)Y. n b)Justifier l’existence d’une base orthonormale de vecteursU1, U2, . . . , UndeRpour lesquels existentdesre´elsλ1, λ2, . . . , λntels queAU1=λ1U1, AU2=λ2U2, . . . , AUn=λnUn. c)Exprimer les vecteursXetAXdans la base (U1, U2, . . . , Unurleueiqs`meorsndielaasnia) des produits scalaireshUi, XiethUi, AXiu1o`6i6nntvauiest´liga´e:erelorvuiupsp, n X 2 hX, AXi=λihUi, Xi i=1 d)esllivsutrmaieicetna:sEnd´eduagil´tserilesee´ n n X X t t I=UiUietA=λiUiUi i=1i=1 t Reconnaˆıtrelesendomorphismescanoniquementassocie´sauxmatricesUiUi. e)eler´nislagee´tiuissntva:esEnd´edui 2 2 min (λi)||X||6hX, AXi6max (λi)||X|| 16i6n16i6n