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ESSEC 2004 mathematiques ii classe prepa hec (ece)

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bbaaESSEC Mathématiques II OPTION ÉCONOMIQUE CONCOURS 2004 La présentation, la lisibilité, l’orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l’appréciation des copies. Les candidats sont invités à encadrer, dans la mesure du possible, les résultats de leurs calculs. Ils ne doivent faire usage d’aucun document. L’usage de toute calculatrice ou de tout matériel électronique est interdit pendant cette épreuve. Seule l’utilisation d’une règle graduée est autorisée. Si au cours de l’épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d’énoncé, il la signalera sur sa copie et poursuivra sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il sera amené à prendre. Notations Dans tout le problème, n désigne un entier naturel supérieur ou égal à 2. On note E = {1 ; 2 ; ... ; n} = 1 ; n et Ω l’ensemble des permutations sur E . Pour tout ensemble fini n nA , on note card(A) son cardinal, c’est à dire son nombre d’éléments. n ! si 0 ≤kn≤n k kn!−k!On note , ou C , le nombre () nk  0 sinonOn rappelle enfin la formule de Poincaré, sous sa forme ensembliste : soit A un ensemble de cardinal fini, et A ; A ; ... ; A des sous-ensembles de A . Alors 1 2 n n nk −1  cardA = −1 cardA ∩ A ∩ ... ∩ A ()∪ii∑∑i12 k ki=≤11
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ESSEC MathématiquesIIOPTION ÉCONOMIQUECONCOURS2004 La présentation, la lisibilité, l’orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l’appréciation des copies. Les candidats sont invités à encadrer, dans la mesure du possible, les résultats de leurs calculs. Ils ne doivent faire usage d’aucun document.L’usage de toute calculatrice ou de tout matériel électronique est interdit pendant cette épreuve. Seule l’utilisation d’une règle graduée est autorisée.Si au cours de l’épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d’énoncé, il la signalera sur sa copie et poursuivra sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il sera amené à prendre. NotationsDans tout le problème,ndésigne un entier naturel supérieur ou égal à 2. On noteEn= {1 ; 2 ; ... ;n} =a1 ;nb et l’ensemble des permutations surEn. Pour tout ensemble fini Acard(, on noteA) son cardinal, c’est à dire son nombre d’éléments. n! si 0 nkkn k!(nk)! On note, ouC, le nombre  n k   0 sinon On rappelle enfin la formule de Poincaré, sous sa forme ensembliste : soitA un ensemble de cardinal fini, etA1;A2; ... ;Andes sous-ensembles deA. Alors nn    k1   card A=(1)card AA∩ ... ∩A   ∑ ∑1 2kii iii=1k=1 1i<i< ... <in 1 2k Partie I1°) Rappeler la valeur decard() . Pour touti,iEn , on poseAi={ω|ω∈Ω,ω(i) =i} 2°) Montrer que pour toutkEnpour tout eti1;i2; ... ;iktels que1i1<i2< ... <ikn  k    cardA=(nk)!ji   j=1       s=car... ∩∩ ∩ 1 2 En déduire, pour toutkEnla valeur de ,kdAiAiAik    1i<i< ... <in 1 2k 3°) On noteDn; 0={ω|ω∈Ω,iEn ,ω(i)i} i   nn  (1) a) Montrer qued= card (Dn; 0) =n!cardA=n!   i1i0ii  = =!   Pour toutkEn , on appelleDn;k l’ensemble formé desω tels qu’il existei1;i2; ... ;ik  toutj1 ;kωi=i, et pour toutl tels que 1i1<i2< ... <iknet tel que poura b , on aj j   En\{i1;i2; ... ;ik}, on aω(l) l. n  b) Montrer que pouD) =ard dr toutkEn ,dk = card (n;k cnk; 0  k   k+1 k+2nkn= −+ +... +c) Vérifier que pour toutkEd s s+ s+(1) s n kk k1k2n k kk     4°) On posed0=s0= 0 . a) Écrire la matrice du système d’équations qui donne(d0;d1; ... ;dn) en fonction de (s0;s1; ... ;sn). b) En se plaçant dans l’espace vectorielRn[X] des polynômes à coefficients réels de degré inférieur ou égal àn , donner l’expression de l’endomorphisme représenté, dans la base canonique, par la transposée de cette matrice.
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