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ESSEC 2004 mathematiques ii classe prepa hec (ecs)

4 pages
666ESSEC 2004, math 2, option scientifiqueNotationsDans tout le probl`eme, n d´esigne un entier naturel sup´erieur ou ´egal a` 2.On note E ={1, 2,...,n} = [[1,n]] et Ω l’ensemble des permutations de E .n nPour tout ensemble finiA, on note Card(A) son cardinal, c’est-` a-dire le nombre de ses ´el´ements.( n!n si 06k6nkOn note , ou C le nombren k!(n−k)!k0 sinonPartie IPour tout ω2 Ω, on appelle point fixe de ω, tout ´el´ement k2E tel que ω(k) =k.nOn appelle d´erangement toute permutation ω2 Ω telle que pour tout k2 E , ω(k) = k. Ainsinun d´erangement est une permutation sans point fixe.On note D ={ω2 Ω/8i2E , ω(i) =i}, et pour tout k2En,0 n nD ={ω2 Ω/ω admet exactement k points fixes}n,kEnfin, on noted = Card(D ) et pour tout k2E , d = Card(D ).n,0 n,0 n n,k n,k1) Montrer que [ D = ω2 Ω/ω| =Id et ω| est un d´erangementn,k I E \InIEnCard(I)=kou` ω| est la restriction de la permutation ω a` I, Id repr´esente la permutation identit´e, etIω| est la de la perm ω au compl´ementaire de I.E \In n2) En d´eduire que pour tout k2E , d = d .n n,k n−k,0k3)a) Soit ω2 Ω un d´erangement de E . Soit j2 [[1,n]]. On d´efinit l’applicationωf sur E parn j n+1ω(k) si k2{j,n + 1}ωf(k) = n + 1 si k =jj ω(j) si k =n + 1Montrer que l’on d´efinit ainsi un d´erangement de E .n+1b) Soit ω2 Ω admettant un unique point fixe j2 [[1,n]]. Montrer que ωf d´efini ci-dessus estjun d´erangement de E .n+1c) Montrer que les d´erangements de E construits dans les questions ...
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ESSEC 2004, math 2, option scientifique Notations Danstoutleproble`me,nigned´estierunenerslanutiruepue´alegu´ro2.`a On noteEn={1,2, . . . , n}=[1, n]] et Ω l’ensemble des permutations deEn. Pour tout ensemble finiA, on note Card(Anoacs)-`a-estal,crdinesederbmonelerids.ntme´eels´ (  n! n ksi 06k6n On note, ou Cle nombre nk!(nk)! k 0 sinon Partie I Pour toutωΩ, on appellepoint fixedeωtuot,neme´le´tkEntel queω(k) =k. On appellemee´ganrtndetoute permutationωΩ telle que pour toutkEn,ω(k)6=k. Ainsi unde´rangementestunepermutationsanspointxe. On noteDn,0={ωΩ/iEn, ω(i)6=i}, et pour toutkEn Dn,k={ωΩadmet exactementkpoints fixes} Enfin, on notedn,0= Card(Dn,0) et pour toutkEn, dn,k= Card(Dn,k). 1)Montrer que [   Dn,k=ωΩ|I=Idetω|En\Iare´dnutsetenemng IE n Card(I)=k ou`ω|Iest la restriction de la permutationω`aI,Idese´letnrperontienideraptamuete,t´ti ω|En\Iest la restriction de la permutationω´lmeocpmrideneateauI.   n 2)opeuotrutundEdu´eeqirkEn,dn,k=dnk,0. k 3)a)SoitωΩnu´dreedtnemegnaEn. Soitj[1, n´end.O]]ntaoilpcilpantiωfjsurEn+1par ω(k) sik6∈ {j, n+ 1} ωfj(k) =nsi+ 1k=j ω(j) sik=n+ 1 Montrerquelond´enitainsiund´erangementdeEn+1. b)SoitωΩ admettant un unique point fixej[1, n]]. Montrer queωfjtesusedssci-ie´nd und´erangementdeEn+1. c)erqreueldse´argnetmneonMtsdeEn+1construits dans les questions 3.a) et 3.b) sont distincts,etquetoutd´erangementdeEn+1coa¸n.teˆtuepnuteobreefttcede d)d´Enuieduqeredn+1,0=ndn,0+dn,1=n(dn,0+dn1,0). 4)Pour toutn>2, on poseun=dn,0ndn1,0 a)ete´Derrminun+1en fonction deun, puisunen fonction den. n b)´endirduueeqEdn,0=ndn1,0+ (1) . dn,0 c)On posev1= 0 et pourn>2,vni=nrmte´eD.ervnen fonction den, puis montrer que n! kn X (1) dn,0=n! k! k=0
Partie II Andelancerunnouveauproduitsurlemarche´,leservicemarketingduneentreprisepropose audirecteurge´ne´rallacampagnesuivante mettre en vente au prix unitaire debEuros,nexemplaires du produit, ´torfedeoc¸appanenardtenounrembcahuqeeexmplaireseranum´et1erentserimpcon, m´ero,ocesundnuortnuev´echsee,¸cfacaonteediu,trpdoerudplaiexemaquedechrueire´tnila`
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