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ESSEC 2004, math 2, option scientifique Notations Danstoutleproble`me,nigned´estierunenerslanutiruepue´alegu´ro2.`a On noteEn={1,2, . . . , n}=[1, n]] et Ω l’ensemble des permutations deEn. Pour tout ensemble finiA, on note Card(Anoacs)-`a-estal,crdinesederbmonelerids.ntme´eels´ (  n! n ksi 06k6n On note, ou Cle nombre nk!(nk)! k 0 sinon Partie I Pour toutωΩ, on appellepoint fixedeωtuot,neme´le´tkEntel queω(k) =k. On appellemee´ganrtndetoute permutationωΩ telle que pour toutkEn,ω(k)6=k. Ainsi unde´rangementestunepermutationsanspointxe. On noteDn,0={ωΩ/iEn, ω(i)6=i}, et pour toutkEn Dn,k={ωΩadmet exactementkpoints fixes} Enfin, on notedn,0= Card(Dn,0) et pour toutkEn, dn,k= Card(Dn,k). 1)Montrer que [   Dn,k=ωΩ|I=Idetω|En\Iare´dnutsetenemng IE n Card(I)=k ou`ω|Iest la restriction de la permutationω`aI,Idese´letnrperontienideraptamuete,t´ti ω|En\Iest la restriction de la permutationω´lmeocpmrideneateauI.   n 2)opeuotrutundEdu´eeqirkEn,dn,k=dnk,0. k 3)a)SoitωΩnu´dreedtnemegnaEn. Soitj[1, n´end.O]]ntaoilpcilpantiωfjsurEn+1par ω(k) sik6∈ {j, n+ 1} ωfj(k) =nsi+ 1k=j ω(j) sik=n+ 1 Montrerquelond´enitainsiund´erangementdeEn+1. b)SoitωΩ admettant un unique point fixej[1, n]]. Montrer queωfjtesusedssci-ie´nd und´erangementdeEn+1. c)erqreueldse´argnetmneonMtsdeEn+1construits dans les questions 3.a) et 3.b) sont distincts,etquetoutd´erangementdeEn+1coa¸n.teˆtuepnuteobreefttcede d)d´Enuieduqeredn+1,0=ndn,0+dn,1=n(dn,0+dn1,0). 4)Pour toutn>2, on poseun=dn,0ndn1,0 a)ete´Derrminun+1en fonction deun, puisunen fonction den. n b)´endirduueeqEdn,0=ndn1,0+ (1) . dn,0 c)On posev1= 0 et pourn>2,vni=nrmte´eD.ervnen fonction den, puis montrer que n! kn X (1) dn,0=n! k! k=0
Partie II Andelancerunnouveauproduitsurlemarche´,leservicemarketingduneentreprisepropose audirecteurge´ne´rallacampagnesuivante mettre en vente au prix unitaire debEuros,nexemplaires du produit, ´torfedeoc¸appanenardtenounrembcahuqeeexmplaireseranum´et1erentserimpcon, m´ero,ocesundnuortnuev´echsee,¸cfacaonteediu,trpdoerudplaiexemaquedechrueire´tnila`