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ESSEC 2005 mathematiques i classe prepa hec (ect)

4 pages
ESSEC 2005 MATHEMATIQUES OPTION TECHNOLOGIQUE EXERCICE I : Calcul matriciel 1 0 0 1 0 0Ø ø Ø øŒ œ Œ œOn considère les deux matrices suivantes : A = 1 -1 -1 et I = 0 1 0 . Œ œ Œ œŒ œ Œ œ-1 4 3 0 0 1º ß º ß 2 31. a) Déterminer la matrice J telle que : A = I + J , puis calculer J et J . n b) En déduire que, pour tout entier n supérieur ou égal à 3, J est égale à la matrice nulle. 2. a) A l'aide de la formule du binôme, montrer que pour tout entier n supérieur ou égal à 2 : n(n -1)n 2 A = I + nJ + J . 2 b) En déduire alors, pour tout entier n supérieur ou égal à 2, l'expression sous forme de ntableau de la matrice A . 23. a) Développer le produit (I + J )·(I - J + J ) . -1b) En déduire que A est inversible et préciser A en fonction de I et . J Vérifier que l'égalité obtenue à la question 2.a) reste vraie si n = -1 . EXERCICE II : Résolution d'une équation numérique On note (E) l'équation numérique suivante : ln x + x = 0 . L'objectif de cet exercice est, dans un premier temps, d'établir l'existence et l'unicité de la solution de (E) puis, dans un second temps, de démontrer la convergence d'une suite vers ce réel. On pourra utiliser les approximations suivantes à 0,1 près : et . e » 2, 7 1 /e » 0, 4 1. Existence et unicité de la solution de l'équation (E) Soit f la fonction définie sur ]0,+¥[ par : "x > 0, f (x) = ln x + x . a) Calculer les limites de f en et en + ¥ . 0b) ...
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QUEESSEC 2005 MATHEMATIQUES OPTION TECHNOLOGI EXERCICE I : Calcul matriciel é1 0 0ù é1 0 0ù ê úê ú On considère les deux matrices suivantes :A=1-1-1 etI=0 1 0. ê úê ú ê-1 43ú ê0 0 1ú ë ûë û 2 3 1. a) Déterminerla matriceJ telle que :A I J, puis calculerJ etJ. n  b)En déduire que, pour tout entiern supérieur ou égal à 3,J est égale à la matrice nulle. 2. a) Al'aide de la formule du binôme, montrer que pour tout entiern supérieur ou égal à 2 : n(n1) n2 A=I+nJ+J . 2 b) Endéduire alors, pour tout entiern supérieur ou égal à 2, l'expression sous forme de n tableau de la matriceA. 2 3. a) Développerle produit(I+J)´(I-J+J) . -1 b) Endéduire queA est inversible et préciserA en fonction deetJ.  Vérifierque l'égalité obtenue à la question 2.a) reste vraie sin1 . EXERCICE II : Résolution d'une équation numérique On note (E) l'équation numérique suivante :  lnx x0 . L'objectif de cet exercice est, dans un premier temps, d'établir l'existence et l'unicité de la solution de (E) puis, dans un second temps, de démontrer la convergence d'une suite vers ce réel. On pourra utiliser les approximations suivantes à 0,1 près :2, 7et 1/ 0,4 . e e 1. Existenceet unicité de la solution de l'équation (E)  Soitf0, la fonction définie sur par : "x0,f(x) lnx x. a) Calculerles limites def0 eten en¥ . b) Dresserle tableau de variations de la fonctionf . c) Montrerque l'équation (E) admet une unique solution dans0,. On notea ce réel. d) Montrer quea est compris au sens large entreet 1.1 / e e) Représentersur un même graphique les courbes d'équations respectivesylnx et  , ainsi que le pointA( de coordonnéesa, 0).
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