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ESSEC M B A
CONCOURS DADMISSION
Option scientique
MATHEMATIQUESI
Année 2006
La présentation, la lisibilité, lorthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans lappréciation des copies. Les candidats sont invités àencadrerdans la mesure du possible les résultats de leurs calculs. Ils ne doivent faire usage daucun document; lutilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite.Seule lutilisation dune règle graduée est autorisée. Si au cours de lépreuve un candidat repère ce qui lui semble une erreur dénoncé, il le signalera sur sa copie et poursuivra sa composition en expliquant les raisons des initiatives quil sera amené à prendre.
Dans tout ce problème, la lettrendésigne un entier supérieur ou égal à2et on note[1; n]]lensemblef1;2; :::; ng. On rappelle quune permutation de[1; n]]est une bijection de[1; n]]Par ailleurs, on notesur lui-même. Snlensemble des permutations de[1; n]]; Mn(R)lespace vectoriel des matrices carrées dordrenà coe¢ cients réels ; Mp;q(R)lespace vectoriel des matrices àplignes,qcolonnes à coe¢ cients réels ; mi;jlélément générique dune matriceM, cest-à-dire le réel situé à lintersection de lai-ième ligne et de la j-ième colonne deM; t Mla transposée dune matriceM. Lorsqueappartient àSn, on appelle matrice de la permutationla matrice deMn(R)notéePdont le terme 2 génériquepi;jvérie :8(i; j)2[1; n]]; pi;j= 1si(i) =jetpi;j= 0sinon. 0 1 0 1 0 @ A Par exemple, pourn= 3et2G3dénie par(1) = 2; (2) = 3; (3) = 1,P= 00 1. 1 0 0 On sintéresse dans un premier temps à lensembleEndes matricesMappartenant àMn(R)vériant la propriété n n X X suivante :8i2[1; n]];8j2[1; n]]; mi;k=mk;j. k=1k=1 Dans ce cas, leur valeur commune sera notée!(M).
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