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ESSEC 2006 mathematiques i classe prepa hec (ecs)

4 pages
ESSECM B ACONCOURS D’ADMISSIONOption scienti queMATHEMATIQUES IAnnØe 2006La prØsentation, la lisibilitØ, l orthographe, la qualitØ de la rØdaction, la clartØ et la prØcision des raisonnementsentreront pour une part importante dans l apprØciation des copies.Les candidats sont invitØs à encadrer dans la mesure du possible les rØsultats de leurs calculs.Ils ne doivent faire usage d aucun document; l utilisation de toute calculatrice et de tout matØriel Ølectroniqueest interdite. Seule l utilisation d’une rŁgle graduØe est autorisØe.Si au cours de l’Øpreuve un candidat repŁre ce qui lui semble une erreur d ØnoncØ, il le signalera sur sa copie etpoursuivra sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu il sera amenØ à prendre.Dans tout ce problŁme, la lettre n dØsigne un entier supØrieur ou Øgal à 2 et on note [[1;n]] l ensemble f1;2;:::;ng.On rappelle qu’une permutation de [[1;n]] est une bijection de [[1;n]] sur lui-mŒme. Par ailleurs, on note S el nsemble des permutations de [[1;n]] ;n M (R) el space vectoriel des matrices carrØes d ordre n à coe¢ cients rØels ;n M (R) el space vectoriel des matrices à p lignes, q colonnes à coe¢ cients rØels ;p;q m Øl lØment gØnØrique d une matrice M, c’est- -dire le rØel situØ à l intersection de la i-iŁme ligne et de lai;jj-iŁme colonne de M ;t M la transposØe d’une matrice M.Lorsque appartient àS , on appelle matrice de la permutation la matrice deM (R) notØe P dont le termen n 2gØnØrique p ...
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ESSEC M B A
CONCOURS DADMISSION
Option scientique
MATHEMATIQUESI
Année 2006
La présentation, la lisibilité, lorthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans lappréciation des copies. Les candidats sont invités àencadrerdans la mesure du possible les résultats de leurs calculs. Ils ne doivent faire usage daucun document; lutilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite.Seule lutilisation dune règle graduée est autorisée. Si au cours de lépreuve un candidat repère ce qui lui semble une erreur dénoncé, il le signalera sur sa copie et poursuivra sa composition en expliquant les raisons des initiatives quil sera amené à prendre.
Dans tout ce problème, la lettrendésigne un entier supérieur ou égal à2et on note[1; n]]lensemblef1;2; :::; ng. On rappelle quune permutation de[1; n]]est une bijection de[1; n]]Par ailleurs, on notesur lui-même. Snlensemble des permutations de[1; n]]; Mn(R)lespace vectoriel des matrices carrées dordrenà coe¢ cients réels ; Mp;q(R)lespace vectoriel des matrices àplignes,qcolonnes à coe¢ cients réels ; mi;jlélément générique dune matriceM, cest-à-dire le réel situé à lintersection de lai-ième ligne et de la j-ième colonne deM; t Mla transposée dune matriceM. Lorsqueappartient àSn, on appelle matrice de la permutationla matrice deMn(R)notéePdont le terme 2 génériquepi;jvérie :8(i; j)2[1; n]]; pi;j= 1si(i) =jetpi;j= 0sinon. 0 1 0 1 0 @ A Par exemple, pourn= 3et2G3dénie par(1) = 2; (2) = 3; (3) = 1,P= 00 1. 1 0 0 On sintéresse dans un premier temps à lensembleEndes matricesMappartenant àMn(R)vériant la propriété n n X X suivante :8i2[1; n]];8j2[1; n]]; mi;k=mk;j. k=1k=1 Dans ce cas, leur valeur commune sera notée!(M).
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