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ESSEC 2006 mathematiques ii classe prepa hec (ece)

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ESSECM B ACONCOURS D’ADMISSIONOption ØconomiqueMATHEMATIQUES IIAnnØe 2006La prØsentation, la lisibilitØ, l orthographe, la qualitØ de la rØdaction, la clartØ et la prØcision des raisonnementsentreront pour une part importante dans l apprØciation des copies.Les candidats sont invitØs à encadrer dans la mesure du possible les rØsultats de leurs calculs.Ils ne doivent faire usage d aucun document; l utilisation de toute calculatrice et de tout matØriel Ølectroniqueest interdite. Seule l utilisation d’une rŁgle graduØe est autorisØe.Si au cours de l’Øpreuve un candidat repŁre ce qui lui semble une erreur d ØnoncØ, il le signalera sur sa copie etpoursuivra sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu il sera amenØ à prendre.Les deux problŁmes sont totalement indØpendants, le premier est consacrØ aux lois de probabilitØ et variablesalØatoires discrŁtes. Dans le second on manipule au contraire des lois de probabilitØ et des variables alØatoirescontinues.Notations: sia et b sontdeuxnombresrØels, ondØsignepara^blepluspetitdecesdeuxnombres. Toutaulongdu sujet ( ;F;P) dØsignera un espace probabilisØ et les variables alØatoires utilisØes plus bas seront toutes dØ niessur cet espace probabilisØ. Sous rØserve de son existence, l espØrance mathØmatique d’une variable alØatoire rØelleX sera notØe E(X)ProblŁme 1 Distance en variation et couplage.Partie 1 : Distance en variation.Dans cette premiŁre partie on considŁre un ensemble discret K dont on ...
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ESSEC M B A
CONCOURS DADMISSION
Option économique
MATHEMATIQUESII
Année 2006
La présentation, la lisibilité, lorthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans lappréciation des copies. Les candidats sont invités àencadrerdans la mesure du possible les résultats de leurs calculs. Ils ne doivent faire usage daucun document; lutilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite.Seule lutilisation dune règle graduée est autorisée. Si au cours de lépreuve un candidat repère ce qui lui semble une erreur dénoncé, il le signalera sur sa copie et poursuivra sa composition en expliquant les raisons des initiatives quil sera amené à prendre.
Les deux problèmes sont totalement indépendants, le premier est consacré aux lois de probabilité et variables aléatoires discrètes.Dans le second on manipule au contraire des lois de probabilité et des variables aléatoires continues.
Notations :si aet b sontdeux nombres réels, on désigne para^bTout au longle plus petit de ces deux nombres. du sujet(;F; P)désignera un espace probabilisé et les variables aléatoires utilisées plus bas seront toutes dénies sur cet espace probabilisé.Sous réserve de son existence, lespérance mathématique dune variable aléatoire réelle Xsera notéeE(X)
Problème 1 Distance en variation et couplage. Partie 1 :Distance en variation. Dans cette première partie on considère un ensemble discretKdont on suppose quil est soit ni soit égal à lensemble des entiers naturelsN:Adésigne lensemble de toutes les parties deKet pour toutA2 A, on noteA le complémentaire deAdansK. SoientPetQdeux lois de probabilité surKtout. Pourk2 K, on posepk=P(fkg)etqk=Q(fkg). On X rappelle que pour toutk2 K; pk>0, avecpk= 1plus toute probabilité. DePest entièrement déterminée k2K X par la donnée de(pk)puisque pour toutA2 A; P(A) =pk: k2K k2A LorsqueKest ni on dénit la distance en variation entre les probabilitésPetQpar X 1 (i)D(P; Q) =jpqj k k 2 k2K
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