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ESSEC M B A
CONCOURS DADMISSION
Option économique
MATHEMATIQUESIII
Année 2006
La présentation, la lisibilité, lorthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans lappréciation des copies. Les candidats sont invités àencadrerdans la mesure du possible les résultats de leurs calculs. Ils ne doivent faire usage daucun document; lutilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite.Seule lutilisation dune règle graduée est autorisée. Si au cours de lépreuve un candidat repère ce qui lui semble une erreur dénoncé, il le signalera sur sa copie et poursuivra sa composition en expliquant les raisons des initiatives quil sera amené à prendre.
EXERCICE 1 :probabilités et fonctions de deux variables
Cent boules, cinquante blanches et cinquante noires, sont réparties dans deux urnes notéesU1etU2. Onchoisit une urne au hasard puis on tire au hasard une boule dans lurne choisie.Lobjectif de cet exercice est de déterminer, si elle existe, la répartition pour laquelle la probabilité de tirer une boule blanche est maximale ainsi que la valeur de cette probabilité.
1. Justierquil existe une répartition des boules dans les urnes pour laquelle la probabilité de tirer une boule blanche est maximale.
2. Déterminerla probabilité de tirer une boule blanche dans le cas où les urnes sont composées de 20 boules blanches et 40 boules noires pour lune, 30 boules blanches et 10 boules noires pour lautre. On peut donc répartir les boules dans les urnes de telle sorte que la probabilité de tirer une boule blanche 1 soit strictement supérieure à. 2 3. Onnotexetyles nombres respectifs de boules blanches et noires contenues dans lurneU1(xetysont donc deux entiers compris au sens large entre 0 et 50).
(a) Déterminerla probabilitéf(x; y)de tirer une boule blanche (on distinguera lexpression générale, fonc-tion des entiersxety, des deux cas particuliers où lune des urnes est vide). (b) Justierque, pour tous entiersxetycompris au sens large entre 0 et 50, on a légalité :
f(50x;50y) =f(x; y):
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