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 Terminale S
 
 
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     Partie A
 
 
mai 2000
 
; + dans [R dg x)=x2x+21ln(x2+1) où ln désigne la On considère l'applicationde [0 éfinie par(2 fonction logarithme népérien. 1. a. Déterminer la limite de() quandtend vers +. b. Calculer la dérivée deet donner le tableau de variation de. 2. a. Montrer que, sur l'intervalle [1 ; +[, l'équation() = 0 admet une solution uniqueα b. Donner une valeur approchée deαà 10−1près et justifier la réponse. + 3. Préciser le signe desurR. Partie B
Soit la ; + fonction définie sur [0 [ parf(x)=ln(x2+ is )1x>0,f(0)=0 et soit (C) la courbe x représentative dedans un repère orthonormalO;i,j.
1. a. Calculerlimf(x)f(0). Déterminer une équation de la tangente T0à (C) au point d'abscisse 0. x0x b. Montrer quelimf(x)=0et quelimf(x)=0. x0x→+∞ 2. a. Calculer'() et donner une relation liant’() et() pour> 0 . b. Soitαle réel défini à la question A. 2.a. Établir quef(α)=α22α+1. c. Donner le tableau de variation deet tracer la courbe (C). Partie C
x On considère la fonctiondéfinie sur [ 1 ; +[ parF(x)=f(t)dt. 1
1. Montrer que, pour toutde l’intervalle [ 1 ; +[,ln(x2)<ln(x2+1). En déduire le réeltel que, pour Alnx<ln(x2+1). > 1,.   x x 2. Calculer, pourx1, l'intégraleI(x)=xlntdt. On explicitera le calcul et on trouvera() de la forme 1t () =(ln)!. 3. a. A l'aide des questions C.1. et C.2., déterminer une fonctionϕtelle que, pour toutx1,ϕ(x)F(x). b. En déduire la limite de() quandtend vers +. Justifier la réponse. 4. Déterminer la dérivée'() de() et donner le tableau de variation de la fonction 
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Concours Geipi 2000