Génie mécanique, électronique, électrique et arts appliqués 2002 S.T.I (Génie Mécanique) Baccalauréat technologique

Description

Examen du Secondaire Baccalauréat technologique. Sujet de Génie mécanique, électronique, électrique et arts appliqués 2002. Retrouvez le corrigé Génie mécanique, électronique, électrique et arts appliqués 2002 sur Bankexam.fr.

Sujets

• Génie mécanique
• 2002

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• Publié le: 07 mars 2007
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Extrait

[Baccalauréat STI 2002\

L’intégrale de septembre 2001 à juin 2002

France Génie électronique septembre 2001 . . . . . . . . . . 3 Nouvelle–Calédonie Génie mécanique nov. 2001 . . . . . 6 France F 11 F 11 ′  . . . . . . . . . . . . . .  .juin 2002. . . . . . . . . . . . . 8

France Génie électronique juin 2002 . . . . . . . . . . . . . . . . 11 France Génie des matériaux juin 2002 . . . . . . . . . . . . . . . 13 France Génie mécanique juin 2002 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 Antilles Génie mécanique juin 2002 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

La Réunion Génie mécanique juin 2002 . . . . . . . . . . . . . 21 La Réunion Génie électronique juin 2002 . . . . . . . . . . . 24

2

L’in

t

égrale

2002

[Baccalauréat STI France septembre 2001\ Génie électronique, électrotechnique, optique

Durée : 4 heures

Coefficient : 4

E CICEXER 15 points On lance trois fois de suite une pièce de monnaie et l’on note, dans l’ordre les résultats obtenus ; par exemple PFF correspond à « Pile - Face - Face ». Les résultats sont équiprobables. 1. a. pourÀ l’aide d’un arbre, écrire tous les résultats possibles et i ndiquer chacun de ces résultats le nombre de fois où on a obtenu « Face » . b.SoitXla variable aléatoire égale au nombre de fois où on a obtenu « Face » sur les trois lancers. Donner, sous forme d’un tableau, la loi de probabi- lité deX. 2.Une personne mise 10 euros pour participer à un jeu qui consiste à lancer trois fois de suite la pièce de monnaie. •Face », le joueur ne reçoit ri en.S’il a obtenu moins de deux fois « •2 fois « Face », le joueur reçoit 10 euros.S’il a obtenu exactement •S’il a obtenu exactement trois fois « Face », le joueur reçoit 30 euros. On désigne parYau gain algébrique du joueur (c’est-la variable aléatoire égale à-dire la différence entre la somme reçue et sa mise). a.Déterminer les valeurs que peut prendreY. b.Donner la loi de probabilité deY. c.Calculer l’espérance mathématique deY. 3. à-dire que E(On veut modifier la mise pour que le jeu soit équitable, c’est-Y) soit égal à 0. Déterminer cette nouvelle mise en justifiant votre réponse.

E ECIXERC 25 points Le but de l’exercice est le calcul de l’intégrale Z 2 π sin(2x) dx. 0 12 sinx Pour cela, on introduit les fonctionsfetgdéfinies sur l’intervale h 0 ; π 2 i par : sin(2x) f(x)etg(x) 1 oc is2 sx 12 sinxnx π π ainsi que les intégrales : I Z 0 2 f(x) dxet J Z 0 2 g(x) dx. 1. a.Montrer quef(x)g(x)cosx. b.En déduire que I + J = 1. 2. a.Calculer la dérivée de la fonctionudéfinie sur l’intervalle h 0 ;  2 π i par : u(x)12 sinx. tiongsur l’intervalle h π 2 i . b. 0En déduire une primitive de la fonc ; c.calculer J.

Baccalauréat STI Génie électronique, électrotechnique, optique L’intégrale 2002

3.utilisant les questions précédentes, déterminer la valeur exacte de I.En

P ROBLÈME

-4 -3

-2

18 y 16 14 12 10 8 6 4 2 0 -1 0 1 -2

2

3

10 points

4

x

On considère les fonctionsfetgdéfinies surRpar : f(x)e x e −x etg(x)2x 2 . Sur le graphique joint , on a tracé les courbes représentativesC f etC g de ces fonc- tions dans un repère orthogonal (unité graphique : 2 cm sur l’axe des abscisses et 0,5 cm sur l’axe des ordonnées). Dans lapartie A, on étudie la fonctionf. L’objet de lapartie Best d’étudier la posi- tion relative des courbesC f etC g , puis de calculer une aire. Partie A : Étude de la fonctionf 1.Montrer quefetgsont des fonctions paires et interpréter géométriquement cette propriété. 2.Calculer la limite defen∞. En déduire la limite defen−∞. 3.Calculer la fonction dérivéef ′ def. Montrer que pour toutx∈[0 ;∞[, e x −e −x > 0. En déduire les variations defsur l’intervalle [0 ;∞[. 4.Donner le tableau de variations def.

rFanec 4 spetmerbe0210

Baccalauréat STI Génie électronique, électrotechnique, optique

5 5. a.Démontrer quef(ln 2)2 . b.En déduiref µ 2 1 nl ¶ . 6.Résoudre dansRéql’ontiuaf(x)3.

L’intégrale 2002

Partie B : Calcul d’une aire Soithla fonction définie sur [0 ;∞[ par : h(x)e x −e −x −2x. 1. a.Calculer la fonction dérivéeh ′ deh. b.Montrer queh ′ (x ) (e x −1) 2  . e x Établir le tableau de variations de la fonctionh(on ne demande pas la limite en∞). c.En déduire queh(x) > 0, pour toutx∈[0 ;∞[. 2.On considère la fonctionrdéfinie sur l’intervalle [0 ;∞[ parr(x)f(x)− g(x). a.Montrer quehest la fonction dérivée der. En déduire les variations de r. b.Calculerr(0) et montrer quer(x) > 0, pour toutx∈[0 ;∞[. c.Déterminer la position relative des courbesC f etC g pourx∈[0 ;∞[. 3. a.Déterminer une primitive de la fonctionrsurR. Z 0 2 b.Calculer Ir(x) dx. c.En déduire l’aireAdu domaine limité par les deux courbesC f etC g et les droites d’équationsx2 etx −2. (On donnera sa valeur exacte en unités d’aire, puis son approximation décimale à 10 −2 près par défaut).

France 5 spetembre0210

[Baccalauréat STI Nouvelle–Calédonie\ Génie des matériaux, mécanique novembre 2001

4 points

E XERCICE 1 1.Résoudre l’équation différentielle suivante : (E)y ′′ 9y0. oùyest une fonction numérique de la variable réellexdeux fois dérivable sur R. 2.Déterminer la solution particulièrefde l’équation (E) qui vérifie : f(0)2 etf ′ ³ π 3 ´ 3 p 2. 3.Montrer que, pour tout réelx,f(x)2 cos µ 3x π 4 ? ¶ . 4. a.Résoudre sur l’intervalle [0 ; 2π[ l’équationf(x) −2. b.Représenter les solutions de cette équation sur le cercle trigonométrique.

E XERCICE 25 points Dans le plan complexe muni d’un repère orthonormal ³ O,u →− ,v −→ ´ d’unité gra- phique 2 cm, on considère les points A,B et C d’affixes respectivesz A ,z B etz C défi- nies par : z A 22i ;z B  −22i ;z C  −3i. où i désigne le nombre complexe de module 1 et d’argument  2 π . 1. a.Déterminer le module et un argument de chacun des nombres com - plexesz A ,z B etz C . b.Placer de façon précise les points A, B et C dans le repère ³ O,u −→ ,v −→ ´ . 2. a.Calculer | z A −z B | 2 , | z B −z C | 2 et | z A −z C | 2 , puis interpréter géométrique- ment les trois modules. b.En déduire la nature du triangle ABC. 3.On considère la rotation R de centre O et d’angle− π 3 . Pour tout pointMdu plan, on désigne parM ′ l’image deMpar la rotation R :M ′ R(M). Les affixes respectives deMetM ′ sont notéeszetz ′ . a.rpmixErez ′ en fonction dez. b.Soit A ′ = R(A), Calculer sous forme exponentielle l’affixez A ′ du point A ′ . 4. a.Préciser le module et un argument dez A ′ . b.Déterminer la forme algébrique dez A ′ . c.Déduire des questionsa.etb.les valeurs exactes de cos ³ 1 π 2 ´ et sin ³ 1 π 2 ´ .

Baccalauréat STI Génie des matériaux, mécanique

P ROBLÈME

L’intégrale 20 02

11 points

Partie A On considère la fonctiongdéfinie surRpar : g(x)(x−3)e −x 1. − 1.Étudier les variations deg. (On ne demande pas les limites en∞et en−∞. 2.Calculerg(4) et en déduire le signe degsurR. Partie B Soit la fonctionfdéfinie surRpar − f(x)(2−x)e x −x3. etCsa courbe représentative dans le plan muni d’un repère orthonormal ³ O, − ı → , −→ ´ d’unité graphique 2 cm. 1.Calculer les limites de la fonctionfen∞et en−∞. 2. a.Calculer la dérivéef ′ de la fonctionf. b.Déduire à l’aide de lapartie Ales variations de la fonctionf. c.tableau des variations de la fonctionDresser le f. 3. a.Montrer que la droiteDnoiatqu’édy −x3 est asymptote à la courbe Cen∞. b.Étudier, suivant les valeurs dex, la position deCpar rapport à la droite D. 4. a.Montrer que l’équationf(x)0 admet une solution uniqueα, apparte- nant à l’intervalle [2 ; 3]. b.Donner un encadrement deαd’amplitude 10 −1 . 5.Tracer la droiteDet la courbeCdans le plan muni du repère orthonormal ³ −→−  → ´ O,ı, . 6.La fonctionhest définie surRparh(x)(2−x)e −x . Déterminer les réelsaetbpour que la fonctionHdéfinie parH(x)(a xb)e −x soit une primitive de la fonctionhsurR. 7.Soittun réel supérieur à 2. Déterminer, en fonction det, l’aireA(t) en cm 2 de la partie du plan comprise entre la courbeC, la droiteDet les droites d’équationx2 etxt. Déterminer limA(t). t→∞

Nouvelle–Calédonie 7 nvoembre0210

[Baccalauréat STI F11 F11 ′ France juin 2002\

Calculatrice autorisée Durée : 2 heures Coefficient : 2 E XEEICRC 8 points On considère les fonctionsfetgdéfinies surRpar f(x)x 2 ¢e −x etg(x)x¢e −x µ On rappelle que e −x  e 1 x ¶ . Le plan est muni d’un repère orthonormal ³ O,u −→ ,v −→ ´ d’unités graphiques 4 cm. On désigne parC f etC g les courbes représentant respectivement les fonctionsfetg dans ce repère. La courbeC g la feuille annexe qu’il faudra compléter et rendre avec laest tracée sur copie. I. Étude de la fonctionf. 1.Déterminer la limite de la fonctionfau voisinage de−∞. 2.On admet que la limite de la fonctionfau voisinage de∞est égale à 0. Interpréter graphiquement ce résultat. 3.On notef ′ la fonction dérivée de la fonctionf. 2 Calculerf ′ (x) et montrer que la fonctionfa le même signe que 2x−x . 4.Étudier le signe def ′ (x) surRet dresser le tableau de variation de la fonction f. 5.Sur la feuille annexe, tracer la courbeC f dans le même repère.

II. Étude des positions relatives des courbesC f etC g . 1.Calculer les coordonnées des points d’intersection des courbesC f etC g . 2.Déterminer graphiquement sur quels intervalles la courbeC g est située au- dessus la courbeC f .

P EORLBMÈ 12 points On considère la fonctionfdéfinie sur l’intervalle ]0 ;∞[ par f(x)4 lnx−x2. etCsa courbe représentative dans un repère orthonorma ³ − ı → , −→ ´ d’ l O, unité gra- phique 1 cm. 1. a.Déterminer la limite defen 0. Que peut-on en déduire pour la courbeC? b.Montrer quef(x)x µ 4 lnx x −1 x 2 ¶ pour toutxde l’intervalle ]0 ;∞[. lnx ue0). En déduire la limite defen∞. (On rappelle q x l → i  m ∞ x 2.On désigne parf ′ la fonction dérivée def. a.Calculerf ′ (x) pour toutx∈]0 ;∞[. b.Étudier le signe def ′ (x) selon les valeurs dexet établir le tableau de variation defsur l’intervalle ]0 ;∞[.

Baccalauréat STI France

F1

L’intégrale 2002

3. a.Déterminer la valeur exacte def(2) et def µ 1 2 ¶ en fonction de ln 2. b.Déterminer la valeur exacte def(e) et def(e 2 ) en fonction de e. c.Résoudre dans ]0 ;∞[ l’équationf(x) −x−2. 4.tableau de valeurs suivant : (On donnera des valeursRecopier et compléter le décimales approchées à 10 −2 près.) x0, 5 1 2 3 4 5 7 11 17 f(x) 5.TracerCdans le repère ³ O, − ı → , −  → ´ 6.Dans le même repère, tracer la droiteDd’équationy −x−2. Comment peut-on graphiquement retrouver le résultat de la question3. c.? 7.On considère la fonctionFdéfinie sur l’intervalle ]0 ;∞[ par x 2 xlnx−2x−. F(x) 2 4 a.Démontrer queFest une primitive defsur ]0 ;∞[. b.Calculer I = Z 1 2 f(x) dx. En donner la valeur exacte en fonction de ln 2.

1F11 ′ 9 juin0202

Baccalauréat

F11

F11

′

STI

France

À

RENDRE

AVEC

10

LA

COPIE

L’intégrale

juin

2002

2002

[Baccalauréat STI France Génie électronique\ juin 2002

E XERCICE 16 points Dans le plan muni d’un repère orthononnal ³ O,u −→ ,v −→ ´ , d’unité graphique 2 cm, on considère les points B, C, D, E et F, images respectives des nombres complexes : z B 1i 3,z C 3i p 3,z D 4,z E 3− eti 3z F 1−i 3. 1.Écrire les nombres complexesz B ,z C ,z D ,z E etz F sous forme trigonométrique. 2.Construire à la règle et au compas les points B, C, D, E et F dans le repère ¡ O, − u → , − v → ¢ . 3.les distances OB, BC et CD. En déduire les distances DE, EF et OF. QueCalculer constate-t-on ? −−→−→− 4.Calculer les mesures des angles ³ D − C → , DO ´ , ³  OCOE , → ´ , et ³ − O − D → , O − C → ´ en ra- dians. 5.Quelle est la nature du triangle OCD ? Justifier la réponse. 6.Calculer les aires des triangles OCD et OBC. En déduire, en cm 2 l’aire du polygone OBCDEF.

E EICRCXE 24 points Soit l’équation différentielle (E) :y ′ yx, oùydésigne une fonction dérivable de la variable réellexety ′ sa dérivée. 1.Résoudre l’équation différentielle (H) :y ′ y0. 2.Déterminer les deux nombres réelsaetbtels que la fonctiongdéfinie surR parg(x)a xbest solution de l’équation (E). 3. a.Le nombrekdésignant une constante réelle, on considère la fonctionf définie surRpar : − f(x)ke x x−1. Vérifier que la fonctionfest solution de l’équation (E). b.Déterminer le réelkpour quef(0)0. 4.Dans cette question, on prendk1. a.Calculer la valeur moyennemdefsur l’intervalle [0 ; 2]. b.En déduire une valeur approchée demà 10 −2 près.

P BLROEÈM Partie A : Étude d’une fonction auxiliaire Soitgla fonction définie surRpar : g(x)e x (x3)−1. 1.Déterminer la limite degen∞et la limite degen−∞.

10 points