Cet ouvrage fait partie de la bibliothèque YouScribe
Obtenez un accès à la bibliothèque pour le lire en ligne
En savoir plus

HEC 1999 mathematiques i classe prepa hec (s)

5 pages
n2n12uNCnfuknf()+=0t:f1uCnxn8(tf8nNut0f()=7!1tN1u(0)nN()Nlimxnx!(+t1(unn)tRtntt=R+[(tn1]()tnn[et()C
Voir plus Voir moins
ECOLE DES HAUTES ETUDES COMMERCIALES. MATHEMATIQUES 1.
OPTION SCIENTIFIQUE
Mercredi 12 Mai 1999, de 8h. `a 12h.
L’´enonc´e comporte 5 pages.
Ce probl`eme ´etudie diff´erents mod`eles de propagation, au cours du temps, d’une information
au sein d’une population contenant
individus o`u
est un entier naturel strictement sup´erieur `a
.
On d´esignera par le r´eel
positif la variable repr´esentant le temps. On suppose qu’`a l’instant initial,
, une seule personne parmi cette population est inform´ee. L’information circule au sein de
cette population et lorsqu’une personne est inform´ee `a l’instant t elle le reste ind´efiniment. Dans tout
le probl`eme
d´esignera un entier naturel sans qu’il soit besoin de le rappeler `a chaque fois. Pour tout
r´eel
,
d´esignera la partie enti`ere de
,
c
e
s
t
`a dire l’unique entier relatif
tel que
,
et la fonction
repr´esentera la fonction logarithme n´ep´erien. La partie II est ind´ependante de la
partie I
Partie I : Propagation d
´
eterministe
A
:
P
r
e
m
i
e
r
m
o
d
`
ele de propagation
Soit
un r´eel strictement positif. On consid`ere un intervalle de temps
strictement positif et tel que
ainsi que les instants
,
o
`u l’entier
d´ecrit
. Pour tout
, on note
la proportion de
personnes inform´ees `a l’instant
.
On fait l’hypoth`ese que l’augmentation de cette proportion entre les instants
et
est
d´etermin´ee par la relation:
On pose:
.
1. D´eterminer l’expression de
et la valeur de
.
2. Soit
un r´eel fix´e strictement positif. Le rapport
sera ´egalement not´e
.
a) Comparer
et
.
D
´eterminer
b) D´eterminer
.
3. On suppose dans cette question que la proportion de personnes inform´ees est d´efinie `a chaque
instant
,
o
`u
est un r´eel positif, par
,
´etant une fonction d´efinie et d´erivable sur
.
On fait l’hypoth`ese que l’accroissement instantan´e de la proportion de personnes inform´ees est
d´etermin´e par la relation:
En consid´erant la fonction
,
d
´eterminer la fonction
sachant que
.
1
Un pour Un
Permettre à tous d'accéder à la lecture
Pour chaque accès à la bibliothèque, YouScribe donne un accès à une personne dans le besoin