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CHAMBRE DE COMMERCE ET DINDUSTRIE DE PARIS DIRECTION DE LENSEIGNEMENT Direction des Admissions et concours
ECOLE DES HAUTES ETUDES COMMERCIALES E.S.C.P.-E.A.P. ECOLE SUPERIEURE DE COMMERCE DE LYON
CONCOURS DADMISSION SUR CLASSES PREPARATOIRES
OPTION Lettre et Sciences-Humaines (B/L) MATHEMATIQUES I Année 2000
La présentation, la lisibilité, lorthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans lappréciation des copies. Les candidats sont invités à encadrer dans la mesure du possible les résultats de leurs calculs. Ils ne doivent faire usage daucun document :lutilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite. Seule lutilisation dune règle graduée est autorisée.
Ce problème étudie deux suites de variables aléatoires.Il se compose de quatres parties. Si le candidat ne parvient pas à établir un résultat demandé, il lindiquera clairement, et il pourra pour la suite admettre ce résultat.
Dans tout le problème,ndésigne un entier naturel non nul.
On considère une urneUncontenantnboules numérotées de1àn: On tire une boule au hasard dansUn:On notekle numéro de cette boule. Sikest égal à1;on arrête les tirages. Sikest supérieur ou égal à2;on enlève de lurneUnles boules numérotés dekàn(il reste donc les boules numérotés de1àk1);et on e¤ectue un nouveau tirage dans lurne. On répète ces tirages jusquà lobtention de la boule numéro1: On noteXnla variable aléatoire égale au nombre des tirages nécessaires pour lobtention de la boule1: On noteYnla variable aléatoire égale à la somme des numéros des boules tirées. On noteE(Xn)etV(Xn)(respectivementE(Yn)etV(Yn)) lespérance et la variance deXn(respectivementYn):
Partie 1 n P1 11 1. Onposehn+1 += =  +: k2n k=1
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