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HEC 2000
OPTION TECHNOLOGIQUE
MATHEMATIQUES
Mardi 16 Mai 2000, de 8 h `
a
1
2
h
La pr´esentation, la lisibilit´e;l’orthographe,la qualit´ede la r´edaction, la clart´e et la pr´ecision des raisonnements entreront
pour une part importante dans l’appr´eciation des copies.
Les candidats sont invit´es `a encadrer dans la mesure du possible les r´esultats de leurs calculs. Ils ne doivent faire usage
d’aucun document; l’utilisation de toute calculatrice et de tout mat´eriel ´electronique est interdite.
Seule l’utilisation d’une r`egle gradu´ee est autoris´ee.
L’´epreuve est compos´ee de deux exercices ind´ependants.
Exercice I
1.
Soit
un r´eel strictement positif.
a.
Montrer que l’´equation
poss`ede une unique solution r´eelle positive ou nulle qu’on pr´ecisera. On note
cette solution. Pr´eciser la valeur de
et comparer, suivant les valeurs de
,
l
e
s
r
´eels
et
.
b.
´
Etudier les variations de la fonction
d´efinie, pour tout r´eel
positif ou nul, par:
. Donner son
tableau de variation (on placera la valeur
dans ce tableau). Quel est, suivant la valeur de
, le signe de
?
2.
On consid`ere la suite r´eelle
d´efinie par son premier terme
strictement positif et, pour tout entier naturel
non nul, par la relation de r´ecurrence :
.
Justifier l’in´egalit´e
.
Soit
un entier naturel au moins ´egal `a
v´erifiant
;
´etablir l’in´egalit´e
et en d´eduire que la suite
est strictement minor´ee par
.
3.
Montrer que si la suite
converge, alors sa limite est
.
4.
Dans cette question, on suppose v´erifi´ee la propri´et´e suivante :
Pour tout entier naturel non nul,
a.
Pour tout entier naturel
non nul, ´etablir l’in´egalit´e :
.
b.
Pour tout entier naturel
non nul, exprimer
en fonction de
puis, `a l’aide du tableau de variation de
, prouver que la suite est croissante.
c.
En d´eduire que la suite
converge vers un r´eel strictement sup´erieur `a
et aboutir `a une contradiction.
Ainsi la propri´et´e
n’est pas v´erifi´ee.
5.
On note
un entier naturel non nul v´erifiant
.
a.
´
Etablir l’in´egalit´e :
.
b.
Soit
un entier naturel au moins ´egal `a
v´erifiant
;
´etablir l’in´egalit´e
et en d´eduire que la
suite
est strictement d´ecroissante.
c.
Montrer que la suite
converge vers
.
1