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HEC-ESCP-EML 2000.Math 2, option scientifique Leproble`meconsisteenlanalysedunalgorithmedetrietle´tudedesacomplexite´. On note lnxnee´´pregoratimh´eelstriiendunrtisofimetcptnelelxet logxson logarithme en base 2. On rappelle que 2 lnx logx= 2 ln 2 ´ PartieI:Etudedunesuitere´elle Dans cette partie la lettrendise´alegs´in2.`atneinrtaruleuaomgneratoujoursune Onconside`relasuite(uk)kNrpmesrnoreemeitrdiepa´enu1tourutnaiop,ttere´vnrelatila,ruercn:enoed´rce n1 X 2 un=n1 +ui n i=1 1)a)Calculeru2etu3en fonction deu1. b)Montrer que, pour toutnol`ian3s´aeugma:,onanun(n+ 1)un1= 2n2. uk 2)Pour tout entier naturelknon nul, on pose :vk= . k+ 1 a)Pour toutnegs´`aalex3,imprreuaomnivnvn1en fonction den. b)etmrDe´lsr´eedeuxinerαetβruop,tnaire´vleer´uttoxnon nul et distinct de´e:1l,´egalit 2x2α β = + x(x+ 1)x x+ 1 n X 1u14 c)Pour toutnaelt,eg´l´iarbl:´eitvn= 2+2 +. k3n+ 1 k=2 n X 1 1n 3)Pour toutn, on posehn= etzn=ln( ). k nn1 k=2 a)Calculerunen fonction dehn,u1etn. n X b)rPuoevlr´ge:e´tilahn=zk+ lnn. k=2 c)g´enermeedet´erilesarudenataenlrmieretD´are´lzn. d)ivquenalreui´eunnEde´ddtehnquandntend vers l’infini. e)un´equDi´veterminerlanedteunquandntend vers l’infini. ´ PartieII:Etudedunesuitedevariablesal´eatoires
AOspneeuerd`sionncde´silibaborpecanoltpaorabibil´teestnot´eePairaaelbae´lriote,unevZec,seap,dn´esuieetrc prenantunnombrenidevaleursre´ellesnote´esz1, z2, . . . , zpntmeetvun´ene´eAne´tunnoaborilibepdlle. On noteE(Z/Aeroiat´ealleabrivanaecedallse´pre)Zibaborpalruoptncaahllseonneditieconlit´A, i. e. p X P E(Z/A) =ziP([Z=zi]/A) i=1 Soit (A1, A2, . . . , Aqbibaroeponent´liemene´vedsuotstnit´eegal.erPunlllr´uoevst`emecompletd´)nuys q X E(Z) =P(Aj)E(Z/Aj) j=1
Broepbibaeeemacspalt´silnodeartiesontesous-pssrunuˆmdte´neinscoesirtoeal´satecsnadsee´re´diTbaelavirlsseuoet probabilit´eestnot´eeP. Onconsid`ereunesuite(In)nNedleabrivatoeal´sariseetllqeeup,uortoutnnon nul,Insuit la loi uniforme sur l’ensemble [1, nteui(re`eesunsndinoocra,trtpeDauetn.tre1e,engralsnesua,sirpmcorsientsede]]Xn)nNbairaselavedesl´eatoir ayantlesproprie´t´essuivantes X1ela`e´ag0ecbliaarteanstonvaltse pour tout entier naturelnenllseedsllescoidionontiomua´snilage,2a`Xnsachant [In= 1] et deXnsachant [In=n] sonttoutesdeuxe´gales`alaloiden1 +Xn1 pour tout entier natureln3ateag`lneitottuaerns´eumoiitel que 2in1, la loi conditionnelle deXnsachant [In=i´egale`a]estolaledin1 +Zn,i+Tn,iou`Zn,ietTn,isindoire´eatesalailbvxradtuesno,setnadnepe´Zn,iayant mˆemeloiqueXi1, etTn,iantyameˆmioleeuqXni. Par exemple, on a :P([X6= 9]/[I6= 1]) =P([X5= 4]) et aussiP([X6= 9]/[I6= 3]) =P([Z6,3+T6,3= 4]) ce qui, X comptetenudeshypothe`ses,s´ecrit:P([X6= 9]/[I6= 3]) =P([X2=j])P([X3= 4je´tnate´emmosal,])uendte j aux valeurs convenables de l’entierj. 1)a)Montrer queX2etnatsnoa`elage´sˆuesqretcenemurae´lailbripeaeot1.eevarstun