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HEC 2001, math2, option scientifique Lobjetduprobl`emeestl´etudedequelquesaspectsdelathe´orieclassiquedurisquedontle contexteetlesnotationssontintroduitsaufuret`amesure. Danstoutleprobl`eme,onconsid`eredeuxsuitesdevariablesal´eatoiresre´elles(Δn)nNet (Cn)nNseemecapborplibaed´esnirusuˆenmis,´e(Ω,B, Panivsunssteinaltseocdntioi),v´er i)lesvariablesale´atoiresΔ1,Δ2, . . . ,Δn, . . . , C1, . . . , Cn. . .s,teepe´nadnnosdnit ii)lesvariablesal´eatoiresΔ1,Δ2, . . . ,Δn, . . .sontstrictementteouttonetesivitsopeˆemlsma densite´´egalesur]0,+nepoexreedllientare´pselage´ecnensialadunet´edbaelavirtaiolae´e`a[1`, iii)lesvariablesal´eatoiresC1, C2, . . . , Cn, . . .ttnoetuomalsemeˆenavuqutie´edsnoire´eatlealriab exponentielledesp´erancee´gale`ac. On poseT0= 0 et, pour tout entier naturelnnon nul, on noteTnrapiirataoreeaabl´lien´aevedl n X Tn= Δi i=1 On observera que la suite (Tn)nNest strictement croissante et que, pour tout entier natureln, onal´egalite´:Δn+1=Tn+1Tn. On noteraE(Xetoirl´ealbaeraainuveecdanerp´esl)Xenid´ruseΩ(,B, P). ´ PartieI:Etudedunevariableal´eatoire 1)Pour tout entier natureln,d´eterirepse´arcnimenlrenciaeledtleearav´laeotaeravalbaiTn. 2)Soittunr.nuluitofopise´le a)Pour tout entier naturelnemtnus´preeirua`etcirtst,justierlincloisutnene´erne´venem:ts [Tn< t][|Tnn|>nt] ` b)Aldelaidegaliin´eeiBede´tT-e´myanheycebchedd´env,murlelidereuivalaP([Tn< t]). n++\ c)[nete´´vnemeirequelEnd´eduTk< t.ellune´tilibaobprdest]e k=1 ´ 3)Soitt´nno´nuee´letnemnadt.tEnuluitofposi´eelunrωde Ω, on noteN(t)(ω) le plus grand´el´ementdelensemble{nN/Tn(ω)6t}(qui contient 0) si cet ensemble est fini, et N(t)(ω) = 0 sinon. On observera que, pour tout entier naturelnnon nul,N(ta`lage´tse)nsi et seulement si : Tn6t < Tn+1. Montrer que l’applicationN(tiravelbase)enuttaiolae´eeller´rriaev´ent: P([N(t) = 0]) =P([T1> t]) . 4)a)Pour tout entier naturelndiolvaleairaaelbeal´irtoennounl,reconnaˆıtrelaTn. b)SoittleaturierntentrtouuoP.fitisoptnemectristel´enruntsi,lujnounnt´lie:lerga´e nZ X kt tn te (tu) t u 1 =+ ee du k!n! 0 k=0 n X kt te Ende´duirel´egalite´:P([N(t)6n]) = k! k=0 c)uortuotrPe´letounuitifconnl,reepsoiaareableal´irtotıˆaalerdiolvaleN(t). ´ PartieII:Etudedelaprobabilit´edˆetreende´citapre`slepremieroulesecondsinistre Danscettepartieonconsid`eredeuxre´elsaetr,rlottu´reeitisoptnruop,teftsanet´meteictr N(t) X positift, on noteKa(t)lave´:latirlpaeg´´eedienae´lriotairaaelbKa(t) =a+rtCien i=1 N(t) X convenant que la sommeCiest nulle lorsqueN(t) est nul. i=1
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