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HEC 2001 mathematiques ii classe prepa hec (eco)

3 pages
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HEC 2001 Option Economique Math 2
Dans tout le probl`eme,
d´esigne un entier sup´erieur ou ´egal `a
.
On dispose de
jetons num´erot´es de
`a
. On tire, au hasard et sans remise, les jetons un `a un. La suite
des
num´eros tir´es est aussi appel´ee permutation de l’ensemble
.
´
Etant donn´e deux entiers
et
v´erifiant
, la suite
s
e
r
´eduisant `a
dans le cas o`u
est ´egal `a
— est appel´ee sous-suite de
et son nombre d’´el´ements est appel´e longueur de cette sous-suite.
On admettra que cette exp´erience al´eatoire peut ˆetre mod´elis´ee par la donn´ee de l’univers
, ensemble des permutations de
, muni de la tribu de ses parties
et de la probabilit´e uniforme
P
, ce qui signifie que, pour toute permutation
de
,
o
n
a
:
P
Si
est une variable al´eatoire d´efinie sur
P
, on note E
son esp´erance et V
sa variance.
Si
et
sont deux variables al´eatoires d´efinies sur
P
, on note Cov
leur covariance.
Pr
´
eliminaire
Soit
une variable al´eatoire prenant ses valeurs dans
o`u
est un entier sup´erieur ou ´egal `a
.
Montrer l’´egalit´
e
:
E
P
.
Partie 1 : Premi
`
ere sous-suite croissante
´
Etant donn´e une permutation
de
,
l
a
p
r
e
m
i
`ere sous-suite croissante est d´
e
fi
n
i
e
d
e
l
a
f
a
c
¸on suivante
: dans le cas
,
l
a
p
r
e
m
i
`ere sous-suite croissante est
; dans le cas contraire,
´etant le plus
petit entier de
v´erifiant
,
l
a
p
r
e
m
i
`ere sous-suite croissante est
.
Soit
la variable al´eatoire d´efinie sur
P
qui, `a toute permutation
, associe la longueur de sa premi`ere sous-suite
croissante.
Par exemple, si
et
, comme
et
,
o
n
a
:
.
1)
a) Quelles sont la plus petite et la plus grande des valeurs prises par
? Que vaut
P
?
b) Montrer que, pour tout entier
de
,
o
n
a
:
P
En d´eduire la loi de
.
2) Donner la valeur de E
sous forme d’une somme et d´eterminer la limite de E
quand
tend vers l’infini.
Partie 2 : Deuxi
`
eme sous-suite croissante
´
Etant donn´e une permutation
de
et sa premi`ere sous-suite croissante
;
s
i
c
e
l
l
e
-
c
i
s
e
termine par
(i.e. si
), on dit que la deuxi`eme sous-suite croissante n’existe pas; dans le cas contraire, la premi`ere
sous-suite croissante de
est appel´ee deuxi`eme sous-suite croissante de
.
Soit
la variable al´eatoire d´efinie sur
P
qui, `a toute permutation
, associe
s’il n’existe pas de deuxi`eme sous-suite
croissante, et la longueur de la deuxi`eme sous-suite croissante, dans le cas contraire.
Par exemple, si
et
, la deuxi`eme sous-suite croissante est
et l’on a :
.
1) Quelles sont la plus petite et la plus grande des valeurs prises par
? Que vaut
P
?
2) On suppose, dans cette question seulement, que
est ´egal `a
.
a) Montrer que la loi du couple
est donn´ee par le tableau suivant :
b) Donner la loi de
et calculer son esp´erance.
c) Calculer la covariance de
et de
. Pouvait-on pr´evoir le signe de cette covariance?
3) On suppose `a nouveau que
est un entier quelconque sup´erieur ou ´egal `a
.
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