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HEC 2002, math II Lesvariablesal´eatoiresquiinterviennentdansceprobl`emesonttoutesde´niessurunmˆeme espaceprobabilise´(Ω,B, Pleel.selrurse´ava`te) Lesp´erancedunevariableale´atoireXe´eesottnE(X). Onadmetlesre´sultatssuivants: i) siXetYre´pecna´vteireosspeds´tuanesneantlin´egalit´eravxuedtnosreoiat´ealesblia X6Ycets`--aideranierv´tX(ω)6Y(ωotruop)me´le´tuentωe´aglni:eil´tdeΩ)sonaalor E(X)6E(Y). ´ ii)Etantdonne´unefonctionfcontinue sur [0,+evariabl[etuneriotae´laeYssopeunntda´e Z +densit´eϕcontinue sur [0,+[ et nulle sur ]− ∞,sil0[,egraint´elf(u)ϕ(u) duconverge 0 absolumentalorslavariableal´eatoiref(Yceanerv´anit:)pso`sdeueense´pre Z +  E f(Y) =f(u)ϕ(u) du 0 PartieI:D´enitiondelapplicationL On noteEel0[rtincfoesedblemnsllse´denofs´reetinuessunies,con,+[ et telles que, pour Z +xt toutr´eelxenil,fitelarge´tteictrssipontmef(t) dtconverge absolument. 0 1)a)´eVeriuerqEtsesenuecaptcevorielr´eel. b)ireqreuV´eEcnoitne0us[res´ernboetesnutinocsnoitcnofselt,+[. 2)temen´el´toutoPrufdeEon noteL(fletruorte´ienou,pioct´endl)nofaxstrictement positif, par : Z +xt L(f)(xe) =f(t) dt 0 a)´VreiquereLdenetuplapese´nieriatacilnoiEdans l’espace vectoriel des fonctions de ]0,+[ dansR. λt b)lee´rtuotruoPλpositif ou nul, on noteελe´rnellee´dpeinarlafonctioελ(t) = epour toutr´eeltisitopul.Vfounerq´eritruop,eulee´rtuoλpositif ou nul, la fonctionελest dans Euotre´rtteuop,elxstrictement positif, calculerL(ελ)(x). c)ee´rtuotruop,euqertronMlλpositif ou nul et toute fonctionfdeE, la fonctionελfest aussi dansEeelv´etrei,eopruottu´rx:´el,fitisotilage´strictementpL(ελf)(x) =L(f)(x+λ). 1 3)euned`ertionfoncnoisOcnHntde´eme´elE, de classeCr[sueen´ortbeentsiasc,or0,+[. 0 Montrer que la fonctionHest aussi dansEluttoeer´e,topruxstrictement positif, justifier l´egalite´: 0 L(H)(x) =H(0) +xL(H)(x) 4)Soit une fonctionfnedteeml´´eE. Pour tout entier naturelnertneuqrofalitcnquonai`,mo n toutr´eeltpositif ou nul associet f(tsuatse)eentdl´emsi´eE. PartieII:D´erivabilit´edelafonctionL(f) Danstoutecettepartieonconside`reunr´eelxstrictement positif et une fonctionfnedt´lme´eeE. x 1)Soithr´eeunnulvlnont´lieire´tnanilage´|h|<. 2 a)ruottu´reelPottcitee´me:ntpositif,justierlin´etgsailr 2 2 h t (x+h)txtxtxt/2 ee +hte6e 2 b)uoPtr´ertouelTtnopetem,fujisittrics:e´tleristliga´ein Z  Z T(x+h)txt+ee|h| xt2xt/2 f(t) +tef(t) dt6t|f(t)|e dt h2 0 0