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HEC 2002 mathematiques i classe prepa hec (s)

4 pages
HEC 2002. Math 1, option scientifique.Le sujet ci-dessous vise a` faire comprendre comment deux concurrents aux int´erˆets antagonistes,ne parvenant pas a` fixer conjointement les strat´egies de l’un et l’autre, conviennent de les tirerau sort avec des probabilit´es bien d´etermin´ees.Notations :Dans tout le probl`eme n et p d´esignent des entiers naturels non nuls fix´es et on pose :E =M (R); on d´efinit de mˆeme E .n n,1 p   x1 n X. .On noteK l’ensemble X = ∈E ,x ≥ 0,...,x ≥ 0, x = 1 ; on d´efinit de mˆemen n 1 n i. i=1xnK .pLes espaces E et E , sont munis de leur structure euclidienne canonique; la norme euclidiennen pd’un vecteur X de E est not´ee ||X||; le produit scalaire de deux vecteurs X et Y de E est not´en nhX,Yi; on adopte la mˆeme notation pour les vecteurs de E .pEnfin, si k est un entier naturel non nul et, si (z ) est une famille finie de r´eels, on notei 1≤i<≤kmax z ou maxz (respectivement min z ou minz ) son plus grand (respectivement son plusi i i i1≤i≤n i 1≤i≤n ipetit) ´el´ement.Plus g´en´eralement, si f est une fonction d´efinie sur un ensemble A, `a valeurs dansR, admettantun maximum (respectivement un minimum) sur A, on note maxf(x), (respectivement minf(x)x∈A x∈Ace maximum, (respectivement ce minimum).Partie I : Le plus petit des plus grands et le plus grand des plus petitsSoit A = (a )1≤i≤n une matrice appartenant a M (R)i,j n,p1≤j≤pOn note u(A) = min ( max a ) et v(A) = max ( min a ). Pour simplifier les notations, ...
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HEC 2002. Math 1, option scientifique.
Lesujetci-dessousvisea`fairecomprendrecommentdeuxconcurrentsauxinte´rˆetsantagonistes, neparvenantpas`axerconjointementlesstrate´giesdelunetlautre,conviennentdelestirer ausortavecdesprobabilite´sbiende´termin´ees. Notations : Danstoutleproble`menetpse´dengisepoonet:erslonnnlus´xsentdesentiersnatu En=Mn,1(R)´dno;medtineˆemeEp.    x 1n   X   On noteKnl’ensembleX=En, x10, . . . , xn0, xi= 1tdemˆemeno´dein; .   i=1 xn Kp. Les espacesEnetEp; la norme euclidienne, sont munis de leur structure euclidienne canonique d’un vecteurXdeEneet´tsone||X||; le produit scalaire de deux vecteursXetYdeEnetson´te hX, Yidonaelptˆeamnomeitatopnoelrucevsdseetruo;Ep. Enfin, sikest un entier naturel non nul et, si(zi)1i<kefunsteeied´reemalielnels,onnot maxzioumaxzi(respectivementminziouminzi) son plus grand (respectivement son plus 1in i1in i petit)´ele´ment. Plusg´en´eralement,sifsnmelbeiond´eniesurunetsefenutcnoA`,valauesnadsrR, admettant un maximum (respectivement un minimum) surA, on notemaxf(x), (respectivementminf(x) x∈Ax∈A ce maximum, (respectivement ce minimum).
Partie I :Le plus petit des plus grands et le plus grand des plus petits SoitA= (ai,jmatrice appartenant a) uneMn,p(R) 1in 1jp On noteu(Amin ( max) =ai,j) etv(Amax ( min) =ai,j). Pour simplifier les notations, on 1in1jp1jp1in pourra´ecrirecesexpressions:u(Amax) = minai,jetv(A) = maxminai,j. i jj i     –1 6–2 –2 3   1)Calculeru(A) etv(A) dans les deux cas suivants :A= ;A1 0 .= 0 1 –1 –2 3–1 2)vernOula`on´ersg´eaucaientA∈ Mn,p(R). Pour toutj0∈ {1, . . . , p}et touti0∈ {1, . . . , n}, on poses= minaett= maxa. j0i,j0i0i0,j i j a)Montrer questpour toutj∈ {1, . . . , p}et touti∈ {1, . . . , n}. j0i00 0 b)ireq´eduEndeuv(A)u(A). 3)nieecritenTogramme´acolan´druobP-salensdaueeqosppsurpnudelubmae´rpnO 1)deuxconstantesentie`res:netp, 2) un type :;matrice = array[l..n,l..p] of real ´ a)Ecrire le corps de la fonction; i : integer) : real;function Maxligne (A :matrice cettefonctiondoitretournerleplusgrande´le´mentdelaligneide la matriceA`--aetsredci, la valeur maxA[i, j]. j ´ b)Ecrire le corps de la fonctionfunction MinMax(A :matrice) :real;cette fonction doit retourner la valeuru(A)nie,d´eointiauseliafrlctonsulptuahpno;rruoMax ligne.
Partie II :Le minimum des maxima et le maximum des minima   –2 3 1)ectairDnaonsi.Oncelamd`erute´ueidexenelpmetscqutetiesononAet pour= , 1 –1    x y 2 t tout (x, y)[0,on pose1] ,X= etY= puish(x, y) =XAY. 1x1y
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