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HEC 2003. Math1 option scientique. NUAGES DE POINTS ET APPROXIMATION D’UN NUAGE Danstoutleproblemenetpagxuauesruoedetdengnsiertieneslerutansirepuss2et on pose Ep=Mp,1(R). L’espaceEpest muni de sa structure euclidienne canonique; la norme euclidienne d’un vecteur xdeEpeetnoste||x||; le produit scalaire de deux vecteursxetydeEponteesthx, yi. SiunetrappaatnateecnvtuulnnnourseEp,Durardnepeetcroeteveegneillesigddroinelau et sixest un vecteur deEp,PDu(x)ogonaldeeteorthtselrpjoexsur la droiteDu. SiFest un sous-espace vectoriel deEpthaoigoreemoerntepplnlaelsdu,FdansEpsenttoeF. Pour toute matriceAnetrappaatnaMm,`(R)on noteAderelaplpcitaoilnnieiaM`,1(R)dans Mm,1(R)diner:apeX∈ M`,1(R),A(X) =AX. Pour toutrapatnanetrapNet toute famille(ui)16i6rde vecteurs deEp,Vect(u1, . . . , ur)est le sous-espace vectoriel deEpsruetcedreenngveesrlpau1, . . . , ur. Signeidnesnuousurstunectioefonless-cepactveieorFdeEpteavaruelsdansRe,ondesign parmaxg(x)oumax{g(x);xFet||x||= 1}le maximum, lorsqu’il existe, de la fonctiong xF ||x||=1 sur l’ensemble des vecteursxdeFgaleamreetseodtnalon1. Partie I: Etude d’un exemple Dans cette partie et uniquement dans celle-ci, on suppose quep= 2. On note(u1, u2)la base canonique deE2. 1)rcuoOsnetcevseleredisnv1, v2etv3rtenantapaapE2etdonseltroocnnodseensdabalase (u1, u2) sont respectivement (1,2),(3,1),(2,1). 0 Onconsidereunreelmet on note, pour toutiataptrapnane{1,2,3},vlarohtgonoprojetele i deviapeerdnegneelleritoecevitroadrlusru1+mu2. 020202 a)Calculer en fonction demauqlatitn:e||v||+||v||+||v||. 1 2 3 b)nerlavaleurDtereimm0demitntuaeqinteateuqalruopttecelleamixstnoecum;m maximumestnoteλ1. µ ¶ 1 –32 2)SoitX.la matrice 2 –1 –1 a)Vequerierλ1est une valeur propre de X X;u1+m0u2etansoasecirurppoerutvnceet t aλ1. b)ueprveDladeeorrplrertuaetenimrX Xatlacererompaλ1. t Partie II: Les axes principaux d’inertie d’un nuage Lesnotationsintroduitesdanscettepartieserontutiliseesdanstoutelasuiteduprobleme. OndenitlamatriceX= (xij)tearntnaappaMp,n(R)ppaeleseescolonnenuage;s 16i6p 16j6n c1, . . . , cnsnoate;agnuseeleppudstniopXest donc un nuage denpoints dans un espace de dimensionp. t OndenitlamatriceV=X X. On appelleFle sous-espace vectoriel deEpseevtcuesrocolnnengendreparlesc1, . . . , cnet on suppose quedimF=retp > r>1. n X 2 Pour tout vecteurvnon nul deEp, on poseI(v) =||PDv(cj)||pcp;elleittseateetuqna j=1 l’inertie du nuageXsur la droiteDv. n X 2 ji. Pour tout couple de vecteurs(v, w)taenanpartapEp, on pose:J(v, w) =hv, cjihw, c j=1 1)a)Montrer que la matriceVdentsoesspelesrsfitisoeidtsagonalisableetquseseavelrupsorrp ou nuls.