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HEC 2003 mathematiques i classe prepa hec (stg)

4 pages
´ ´ECOLE DES HAUTES ETUDES COMMERCIALESOPTION TECHNOLOGIQUEMardi 13 mai 2003, de 8h `a 12h.La pr´esentation, la lisibilit´e, l’orthographe, la qualit´e de la r´edaction, la clart´e et la pr´ecision desraisonnements entreront pour une part importante dans l’appr´eciation des copies.Les candidats sont invit´es a` encadrer dans la mesure du possible les r´esultats de leurs calculs.Ils ne doivent faire usage d’aucun document; l’utilisation de toute calculatrice et de tout mat´eriel´electronique est interdite.Seule l’utilisation d’une r`egle gradu´ee est autoris´ee.EXERCICE√3,On consid`ere un triangle ´equilat´eral A B C de longueur de cˆot´e 1, d’aire peint en noir; on d´esigne0 0 04respectivement par A ,B ,C les milieux des cˆot´es [B C ] , [A C ], [A B ] et on peint en blanc l’int´erieur1 1 1 0 0 0 0 0 0du triangle A B C . On effectue ensuite la mˆeme op´eration sur chacun des triangles encore noirs A C B ,1 1 1 0 1 1C B A , B A C et ainsi de suite pour obtenir les figures suivantes :1 0 1 1 1 0Pour tout entier naturel n, soit t le nombre de triangles ´equilat´eraux encore noirs avant la (n + 1)-i`emenop´eration, c le nombre total de leurs cˆot´es, s le nombre total de leurs sommets et a la longueur de leurn n n1cˆot´e. On a donc : t = 1, c = 3, s = 3, a = 1, t = 3, c = 9, s = 6, a = .0 0 0 0 1 1 1 121. Expimer a en fonction de n, pour tout entier naturel n.n1/42. Soit n un entier naturel n. Exprimer les nombres t , c , s `a l’aide des nombres t , c , ...
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´ ´ ECOLE DES HAUTES ETUDES COMMERCIALES
OPTION TECHNOLOGIQUE
Mardi13mai2003,de8h`a12h.
Lapre´sentation,lalisibilit´e,lorthographe,laqualit´edelare´daction,laclart´eetlapr´ecisiondes raisonnementsentrerontpourunepartimportantedanslappre´ciationdescopies. Lescandidatssontinvit´es`aencadrerdanslamesuredupossiblelesre´sultatsdeleurscalculs. Ilsnedoiventfaireusagedaucundocument;lutilisationdetoutecalculatriceetdetoutmat´eriel ´electroniqueestinterdite. Seulelutilisationdunere`glegradue´eestautorise´e.
EXERCICE 3 , Onconsid`ereuntriangle´equilate´ralA0B0C0euguonelt´ˆoecrdriad,1eiepentennoir;ond´esinged 4 respectivement parA1, B1, C1s[mleeiliedxuoˆcsse´tB0C0] , [A0C0], [A0B0rueire´tnilcnaltenbpeineton] du triangleA1B1C1rsdnucrtseusnoahcrorncoienngiaseleeuneustiO.enetcop´eratielamˆemeA0C1B1, C1B0A1,B1A1C0et ainsi de suite pour obtenir les figures suivantes :
Pour tout entier natureln, soittn(latnavasrionerocnesee´uqlitae´arxuenombredetriangllneemi`)-+1 ope´ration,cnrscˆeleutaldretoonbmele´to,ssnle nombre total de leurs sommets etanla longueur de leur 1 cˆot´e.Onadonc:t0= 1, c0= 3, s0= 3, a0= 1, t1= 3, c1= 9, s1= 6, a1= . 2 1.Expimeranen fonction den, pour tout entier natureln.
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