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HEC 2003 mathematiques ii classe prepa b/l

4 pages
´ ´ECOLE DES HAUTES ETUDES COMMERCIALESOPTION LETTRES ET SCIENCES HUMAINES´MATHEMATIQUES IIMardi 13 mai 2003, de 8h `a 12h.La pr´esentation, la lisibilit´e, l’orthographe, la qualit´e de la r´edaction, la clart´e et la pr´ecision desraisonnements entreront pour une part importante dans l’appr´eciation des copies.Les candidats sont invit´es a` encadrer dans la mesure du possible les r´esultats de leurs calculs.Ils ne doivent faire usage d’aucun document; l’utilisation de toute calculatrice et de tout mat´eriel´electronique est interdite.Seule l’utilisation d’une r`egle gradu´ee est autoris´ee.Le probl`eme a pour objet l’´etude de la rentabilit´e du « surbooking» pour une compagnie a´erienne.Partie I : Expression de l’esp´erance du chiffre d’affaireDans cette partie,n est un entier naturel non nul,N un entier sup´erieur ou ´egal `a 2, etp un r´eel strictementcompris entre 0 et 1.Unecompagniea´erienneavendunbilletsa`centeurospourlevol714quipeutaccueillirjusqu’`aN passagers.La probabilit´e pour qu’un acheteur se pr´esente `a l’embarquement est p et les comportements des acheteurssont suppos´es ind´ependants les uns des autres.Un acheteur qui ne se pr´esente pas a` l’embarquement est rembours´e a` 80%, tandis qu’un acheteur qui sepr´esente `a l’embarquement mais n’obtient pas de place, le vol ´etant d´ej`a complet, est rembours´e a` 200%.Soit X la variable al´eatoire d´esignant le nombre d’acheteurs d’un billet se pr´esentant a` l’embarquement,soitY la ...
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´ ´ ECOLE DES HAUTES ETUDES COMMERCIALES
OPTION LETTRES ET SCIENCES HUMAINES
´ MATHEMATIQUES II
Mardi13mai2003,de8ha`12h.
Lapr´esentation,lalisibilite´,lorthographe,laqualit´edelare´daction,laclarte´etlapr´ecisiondes raisonnementsentrerontpourunepartimportantedanslappre´ciationdescopies. Lescandidatssontinvit´es`aencadrerdanslamesuredupossiblelesr´esultatsdeleurscalculs. Ilsnedoiventfaireusagedaucundocument;lutilisationdetoutecalculatriceetdetoutmate´riel ´electroniqueestinterdite. Seulelutilisationdunere`glegradu´eeestautoris´ee.
Leprobl`emeapourobjetle´tudedelarentabilite´du«surbooking»pourunecompgainaee´irneen.
PartieI:Expressiondelespe´ranceduchiredaaire
Dans cette partie,nest un entier naturel non nul,Ntienuneiruuoe´reus´pretgal`a2,eptnemrtsletciunr´ee compris entre 0 et 1. Unecompagniea´erienneavendun17q4velotucaiuepnteu`aceourlrospstellibeicuirllsqju`auNpassagers. Laprobabilit´epourquunacheteursepre´sentea`lembarquementestpet les comportements des acheteurs sontsuppose´sinde´pendantslesunsdesautres. Unacheteurquinesepr´esentepas`alembarquementestrembours´e`a80%,tandisquunacheteurquise pr´esente`alembarquementmaisnobtientpasdeplace,levol´etantde´ja`complet,estrembourse´`a200%. SoitXcaeherddsuetruletsnbilesenepr´la`tnateuqrabme,ntmelavabairlaeltae´erioesd´naiglentmbno soitYsiamtnmeuerqbaeml`antrivalaonelerbmgisetnanoiatd´releab´eal´rseneatlielstpeursdunbdachete n’obtenant pas de place et soitGonemnttaenriote´dengisltna´laelbaeraailvacentainesd’euros du chiffre daairedelacompagniesurlevolconside´r´e. Onsupposecesvariablesal´eatoiresd´eniessurlemˆemeespacedeprobabilite´(Ω,A,P). 1.Quelle est la loi deXnoD?p´erancenersonesnaec.teasavir 2.ou,pourtecr´eristnPle´teme´ωde Ω, la valeur deY(ω) en fonction deNet deX(ω), en distinguant les casX(ω)> NetX(ω)6N. ´ 3.Ecrire l’expression deGen fonction den, X, Y. 4.On suppose, dans cette question seulement, quenfnitseal`au´egeuro´eriN. Calculeralorslesp´eranceE(Gaelbae´lvaleaira)dtoireG. Lacompagniecherchealorsa`e´valuerlaprobabilit´eP([X>Nreet])ovria`asonbmiselnuraiaetretpuˆ choisidefac¸ona`optimisersonchiredaaire.
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