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HEC 2003 mathematiques ii classe prepa hec (eco)

4 pages
´ ´ECOLE DES HAUTES ETUDES COMMERCIALES´OPTION ECONOMIQUE´MATHEMATIQUES IIMardi 13 mai 2003, de 8h `a 12h.La pr´esentation, la lisibilit´e, l’orthographe, la qualit´e de la r´edaction, la clart´e et la pr´ecision desraisonnements entreront pour une part importante dans l’appr´eciation des copies.Les candidats sont invit´es a` encadrer dans la mesure du possible les r´esultats de leurs calculs.Ils ne doivent faire usage d’aucun document; l’utilisation de toute calculatrice et de tout mat´eriel´electronique est interdite.Seule l’utilisation d’une r`egle gradu´ee est autoris´ee.L’objet du probl`eme est l’´etude de la rentabilit´e du « surbooking» pour une compagnie a´erienne.Partie I : Expression de l’esp´erance du chiffre d’affaireDans cette partie,n est un entier naturel non nul,N un entier sup´erieur ou´egal `a 2, etp un r´eel strictementcompris entre 0 et 1.Unecompagniea´erienneavendunbilletsa`centeurospourlevol714quipeutaccueillirjusqu’`aN passagers.La probabilit´e pour qu’un acheteur se pr´esente `a l’embarquement est p et les comportements des acheteurssont suppos´es ind´ependants les uns des autres.Un acheteur qui ne se pr´esente pas a` l’embarquement est rembours´e a` 80%, tandis qu’un acheteur qui sepr´esente `a l’embarquement mais n’obtient pas de place, le vol ´etant d´eja` complet, est rembours´e `a 200%.Soit X la variable al´eatoire d´esignant le nombre d’acheteurs d’un billet se pr´esentant `a l’embarquement,soitY la variable al´eatoire ...
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´ ´ ECOLE DES HAUTES ETUDES COMMERCIALES
´ OPTION ECONOMIQUE
´ MATHEMATIQUES II
Mardi13mai2003,de8h`a12h.
Lapre´sentation,lalisibilite´,lorthographe,laqualit´edelar´edaction,laclarte´etlapre´cisiondes raisonnementsentrerontpourunepartimportantedanslappre´ciationdescopies. Lescandidatssontinvite´sa`encadrerdanslamesuredupossiblelesr´esultatsdeleurscalculs. Ilsnedoiventfaireusagedaucundocument;lutilisationdetoutecalculatriceetdetoutmat´eriel e´lectroniqueestinterdite. Seulelutilisationduner`eglegradue´eestautoris´ee.
Lobjetduprobl`emeestle´tudedelarentabilit´edu«surbooking»mpagniea´eriennep.ocenuruo
PartieI:Expressiondelesp´eranceduchiredaaire
Dans cette partie,nest un entier naturel non nul,Nnenuouurieerp´suertie,te´ag`l2apnu´rtementeelstric compris entre 0 et 1. Unecompagniea´erienneavenduniellcaucqsuriujol71rlevpeut4quitneca`stuopsorue`aleilbNpassagers. Laprobabilite´pourquunacheteursepre´sente`alembarquementestpet les comportements des acheteurs sontsuppose´sind´ependantslesunsdesautres. Unacheteurquinesepre´sentepas`alembarquementestrembours´e`a80%,tandisquunacheteurquise pre´sentea`lembarquementmaisnobtientpasdeplace,levole´tantd´eja`complet,estrembourse´a`200%. SoitXlielubn´rsestpent`aentabarqlem,tnemeualvariableal´eatoi´dergisetnanonelrembacdtehesdur soitYismantmeavalalleabrireoiat´eruetudsderehcalentmbnoesd´naigmeabqreuattna`lepr´esennbillets n’obtenant pas de place et soitGmeltatnonetnngnae´isrideaeoteal´iablavarlcentainesd’euros du chiffre daairedelacompagniesurlevolconsid´ere´. Onsupposecesvariablesale´atoiresde´niessurlemeˆmeespacedeprobabilit´e(Ω,A,P). 1.Quelle est la loi deX?Dnare´psenosrennoriance.ceetsava 2.ntmet´ou´eelrep,uotrP´rcesiωde Ω, la valeur deY(ω) en fonction deNet deX(ω), en distinguant les casX(ω)> NetX(ω)6N. ´ 3.Ecrire l’expression deGen fonction den, X, Y. 4.On suppose, dans cette question seulement, quenlage´uorueire´fnties`aN. Calculeralorslespe´ranceE(Gotaeeriblial´eael)daravG. Lacompagniecherchealorsa`e´valuerlaprobabilite´P([X>Nvosa`aetnolesiirbmer)]narureˆuteiapt choisidefa¸cona`optimisersonchiredaaire.
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