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´ ´ ECOLE DES HAUTES ETUDES COMMERCIALES
´ OPTION ECONOMIQUE
´ MATHEMATIQUES II
Mardi13mai2003,de8h`a12h.
Lapre´sentation,lalisibilite´,lorthographe,laqualit´edelar´edaction,laclarte´etlapre´cisiondes raisonnementsentrerontpourunepartimportantedanslappre´ciationdescopies. Lescandidatssontinvite´sa`encadrerdanslamesuredupossiblelesr´esultatsdeleurscalculs. Ilsnedoiventfaireusagedaucundocument;lutilisationdetoutecalculatriceetdetoutmat´eriel e´lectroniqueestinterdite. Seulelutilisationduner`eglegradue´eestautoris´ee.
Lobjetduprobl`emeestle´tudedelarentabilit´edu«surbooking»mpagniea´eriennep.ocenuruo
PartieI:Expressiondelesp´eranceduchiredaaire
Dans cette partie,nest un entier naturel non nul,Nnenuouurieerp´suertie,te´ag`l2apnu´rtementeelstric compris entre 0 et 1. Unecompagniea´erienneavenduniellcaucqsuriujol71rlevpeut4quitneca`stuopsorue`aleilbNpassagers. Laprobabilite´pourquunacheteursepre´sente`alembarquementestpet les comportements des acheteurs sontsuppose´sind´ependantslesunsdesautres. Unacheteurquinesepre´sentepas`alembarquementestrembours´e`a80%,tandisquunacheteurquise pre´sentea`lembarquementmaisnobtientpasdeplace,levole´tantd´eja`complet,estrembourse´a`200%. SoitXlielubn´rsestpent`aentabarqlem,tnemeualvariableal´eatoi´dergisetnanonelrembacdtehesdur soitYismantmeavalalleabrireoiat´eruetudsderehcalentmbnoesd´naigmeabqreuattna`lepr´esennbillets n’obtenant pas de place et soitGmeltatnonetnngnae´isrideaeoteal´iablavarlcentainesd’euros du chiffre daairedelacompagniesurlevolconsid´ere´. Onsupposecesvariablesale´atoiresde´niessurlemeˆmeespacedeprobabilit´e(Ω,A,P). 1.Quelle est la loi deX?Dnare´psenosrennoriance.ceetsava 2.ntmet´ou´eelrep,uotrP´rcesiωde Ω, la valeur deY(ω) en fonction deNet deX(ω), en distinguant les casX(ω)> NetX(ω)6N. ´ 3.Ecrire l’expression deGen fonction den, X, Y. 4.On suppose, dans cette question seulement, quenlage´uorueire´fnties`aN. Calculeralorslespe´ranceE(Gotaeeriblial´eael)daravG. Lacompagniecherchealorsa`e´valuerlaprobabilite´P([X>Nvosa`aetnolesiirbmer)]narureˆuteiapt choisidefa¸cona`optimisersonchiredaaire.
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Partie II : Approximations dans des cas particuliers Onreprend,danscettepartielesnotationsetlesde´nitionsdelaPartieI. 1.On suppose, dans cette question, queplaa`0se´tge,5. 2Xn ∗ ∗ a) SoitXlavariabepni:arerioe´dlaeltae´X=√ ∙ n Donnerlesp´eranceetlavariancedelavariableal´eatoireX. b) Parquelle loi approcher la loi deXsinsezgrand?Montreruqaolsrnuvelaueee´hcorpparesats   n+ 12N delaprobabilite´P([X>N]) est Φ, n ou`Φde´signelafonctionder´epartitiondelaloinormalecentr´eer´eduite. x+ 12N c)Pourtoutr´eelx,1noopes´ugelaa`´erieuro:supf(x) =√ ∙ x Montrer que la fonctionfest croissante.    7 6 d) Onsuppose queNΦ:ennodnoet20a3l`ga´este√ ≈0,609 ;Φ√ ≈0,592 . 646 645 Quepeut-onend´eduirepourP([X>N]) sinuiss45,piruuoreei`l6ae´agstef´innrueire´tsupes oue´gala`646? 2.Pour tout entier naturel non nulmnafonctio`dislereo,nocngmd´eneiusrR+par m k X x x gm(x) =e k! k=0 m x ∗ 0 −x estde´niesu a)Montrerquelafonctiond´eriv´eedegmrR+par :g(x) =em m! m m ∗ −m0 Montrerquellev´erieladoublein´egalit´e:xR,e6g(x)60 . +m m! b)Ende´duireque,siaetbostnr´eedeuxerialnstv0´< a < b, on a : m m m 06gm(a)gm(b)6(ba)e m! 3.On suppose, dans cette question, quepest´ega`l0a,99 et quenetsueira`rtsen´eupristemctN. a)Pre´ciserlaloidelavariableal´eatoirenX. b)Onsupposera,danslesprochainscalculs,quelaloidelavariableale´atoirenXetrepeˆtu remplac´eeparlaloidePoissondeparame`tre0,01ndont on noteFfoncla.onititperaed´ritno Que vaut alorsP([X>N]) ? c) Exprimerle nombreF(nNnoitc)dnufenoa`liaedgmpilucitraladere`eontiesqu2. d) Onsuppose queN´egaest00.l`a3 Pourtoutre´elstrictementpositifα, on noteFαalofcnitonder´epartitionedaloldiPeiossnode param`etreαet on donne : 3 3 3 F3(2)0,423 ;F3(3)0,647 ;e0,224 3! Montrer que, sin,203a`lat´egesP([X>N0)]luuptaes`aalegs´,5 et que, sin,3est´gelaa`03 P([X>Nteicntmees])trtsa`ru0´puseire,6.
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