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HEC 2003 mathematiques ii classe prepa hec (s)

4 pages
HEC, ESCP-EAP, EM Lyon 2003, Math 2, option scientifique.Toutes les variables al´eatoires qui interviennent dans ce probl`eme sont d´efinies sur un mˆemeespace probabilis´e (Ω,B,P) et a` valeurs r´eelles.L’esp´erance d’une variable al´eatoireX est not´ee E(X). SiA est un ´ev´enement de probabilit´e nonnulle on note P(E/A) la probabilit´e conditionnelle sachant A de l’´ev´enement E.Sin est un entier naturel non nul et six ,...,x sontn r´eels on note min(x ,...,x ) ou min x1 n 1 n i16i6nle plus petit d’entre eux.On rappelle que deux variables al´eatoires X et Y prenant des valeurs positives ou nulles sontind´ependantes si et seulement si, pour tout couple (a,b) de r´eels positifs ou nuls, on a :P([X6a]∩[Y 6b]) =P([X6a])P([Y 6b])On rappelle qu’une variable al´eatoire X prenant des valeurs positives ou nulles suit une loiexponentielle si et seulement si elle v´erifie la propri´et´e, dite d’absence de m´emoire :2∀(x,y)∈R P([X >x+y]/[X >x]) =P([X >y])+L’objet du probl`eme est l’obtention de diverses caract´erisations de la loi exponentielle.Partie I: Un r´esultat d’analyseOn consid`ere une fonction r´eelle ϕ continue sur [0,1]. On note M le maximum de la fonction|ϕ|sur [0,1].Pour tout entier naturel n non nul et tout r´eel v de [0,1], on note Y une variable al´eatoiren,vsuivant la loi binomiale de param`etres n et v.1) Soit n un entier naturel non nul, x un r´eel de ]0,1[, ε un r´eel strictement positif v´erifiant lesin´egalit´es0
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HEC, ESCP-EAP, EM Lyon 2003, Math 2, option scientifique.
Touteslesvariablesal´eatoiresquiinterviennentdansceproble`mesontde´niessurunmeˆme espaceprobabilis´e(Ω,B, Plee´.selelavrsru)et`a Lespe´rancedunevariableale´atoireXeot´eestnE(X). SiAent´onne´ve´nutselibibaroeptdenem nulle on noteP(E/Al)orpaibabllsecaahtnlit´econditionneAdle´mene´eevntE. Sinest un entier naturel non nul et six1, . . . , xnsontnleosre´(tonnnimex1, . . . , xn) ouminxi 16i6n le plus petit d’entre eux. Onrappellequedeuxvariablesale´atoiresXetYprenant des valeurs positives ou nulles sont ind´ependantessietseulementsi,pourtoutcouple(a, bitifsounuls,ona:red)sopslee´ P([X6a][Y6b]) =P([X6a])P([Y6b]) Onrappellequunevariableal´eatoireXprenant des valeurs positives ou nulles suit une loi exponentiellesietseulementsielleve´rielaproprie´t´e,ditedabsencedeme´moire: 2 (x, y)R+P([X > x+y]/[X > x]) =P([X > y]) Lobjetduproble`meestlobtentiondediversescaracte´risationsdelaloiexponentielle.
PartieI:Unre´sultatdanalyse Onconside`reunefonctionr´eelleϕcontinue sur [0,1]. On noteMle maximum de la fonction|ϕ| sur [0,1]. Pour tout entier naturelnnonnuletlottu´reevde [0,1], on noteYn,vevuneae´lriotairaaelb suivantlaloibinomialedeparam`etresnetv. 1)Soitnun entier naturel non nul,x0nu´reedl]e,1[,εunr´eelstretcitnemisopvfitri´entasle ine´galite´s 0< xε < x < x+ε <1 a)rtuotruolee´Coer,pmparvde [x+ε,,l1]eennevm´[´etessYn,v6nx] et [|Yn,vnv|>n(vx)] etend´eduirelesine´galit´es: v(1v) 1 P([Yn,v6nx])6 6 2 2 4b)suJe´rtletruop,uogoeunala¸connefardutievde [0, xεi,legn´ital:´e] 1 P([Yn,v> nx])6 2 4´ c)Etablirlesin´tilage´:se Z Z 1xε   M(1x)M x ϕ(v)P([Yn,v6nx]) dv6etϕ(v) 1P([Yn,v6nx]) dv6  2 2 22x+ε0 d)ielirdu´endE:e´tilage´n Z Z x1   1 ϕ(v) dvϕ(v)P([Yn,v6nx]) dv6+ 2ε M  2 40 0 ´ 2)´reeottul,euqruopatErilbxde ]0,1[, on a, pour tout entier naturelntie´:essa,lndrazgalegn´i Z Z x1 9M ϕ(v) dvϕ(v)P([Yn,v6nx]) dv6  3 4n 0 0 3)On suppose maintenant que la fonctionϕop,eire´verlnatutierutenurton, Z 1 n ϕ(v)vdv= 0 0 Z 1 a)oˆnyemuotrlopteriou,pstJuPtie´`:l,´gelantr´eelsacoecieϕ(v)P(v) dv= 0. 0
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