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HEC 2003 mathematiques iii classe prepa hec (eco)

4 pages
´ ´ECOLE DES HAUTES ETUDES COMMERCIALESCONCOURS D’ADMISSION SUR CLASSES PREPARATOIRES´OPTION ECONOMIQUEMATHEMATIQUES IIIMercredi 7 mai 2003, de 8h a` 12h.La pr´esentation, la lisibilit´e, l’orthographe, la qualit´e de la r´edaction, la clart´e et la pr´ecision desraisonnements entreront pour une part importante dans l’appr´eciation des copies.Les candidats sont invit´es a` encadrer dans la mesure du possible les r´esultats de leurs calculs.Ils ne doivent faire usage d’aucun document; l’utilisation de toute calculatrice et de tout mat´eriel´electronique est interdite.Seule l’utilisation d’une r`egle gradu´ee est autoris´ee.EXERCICE a b1. Soit a et b deux r´eels strictement positifs et A la matrice carr´ee d’ordre 2 d´efinie par : A = .b aa) Montrer que si a et b sont ´egaux, la matrice A n’est pas inversible.2b) Calculer la matrice A −2aA. En d´eduire que, si a et b sont distincts, la matrice A est inversible−1et donner la matrice A .c) Montrer que les valeurs propres de A sont a+b et a−b. a+b 0d) On pose Δ = . D´eterminer une matrice Q, carr´ee d’ordre 2 `a coefficients r´eels,0 a−b−1inversible et dont les ´el´ements de la premi`ere ligne sont ´egaux `a 1, v´erifiant A =QΔQ .−1 ne) Calculer la matrice Q et, `a l’aide de la question pr´ec´edente, calculer la matrice A pour toutentier naturel non nul n.2. Soitpunr´eelv´erifiant0
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´ ´ ECOLE DES HAUTES ETUDES COMMERCIALES CONCOURS D’ADMISSION SUR CLASSES PREPARATOIRES
´ OPTION ECONOMIQUE
MATHEMATIQUES III
Mercredi7mai2003,de8h`a12h.
Lapr´esentation,lalisibilite´,lorthographe,laqualite´delare´daction,laclart´eetlapr´ecisiondes raisonnementsentrerontpourunepartimportantedanslappre´ciationdescopies. Lescandidatssontinvite´s`aencadrerdanslamesuredupossiblelesr´esultatsdeleurscalculs. Ilsnedoiventfaireusagedaucundocument;lutilisationdetoutecalculatriceetdetoutmate´riel e´lectroniqueestinterdite. Seulelutilisationduner`eglegradu´eeestautoris´ee.
EXERCICE   a b 1.Soitaetb´rxuedeelsstrictementpsotifiestAecicr´ardeedror´d2einerape:alamrtA= . b a a) Montrerque siaetbecirtamal,xu´egasontAn’est pas inversible. 2 b) Calculerla matriceA2aAiseriu,euq.End´edaetbsont distincts, la matriceAest inversible 1 et donner la matriceA. c) Montrerque les valeurs propres deAsonta+betab.   a+b0 d)OnposeΔ=.D´eterminerunematriceQsl,eer´tsencieco`a2erdrodee´rrac, 0ab 1 inversibleetdontles´el´ementsdelapremie`relignesont´egaux`a1,v´eriantA=QΔQ. 1n e) Calculerla matriceQt,`alaieseitnorpededaluq,ctecualc´´eenedecirlreltamaApour tout entier naturel non nuln. 2.Soitpari´elveer´un0tn< p <1 etq1ele´relp. On suppose queXetYlbailasetae´eriossontdeuxvar d´eniessurlemeˆmeespaceprobabilise´(Ω,A,Pequm,´ienodriet)nadnepe´iustesetmˆlantvag´oielem deparame`trep.   X(ω)Y(ω) Pour toutωaprd´esignedeΩ,onM(ω:etnaviu2srerdoed´errcamatairecl)et Y(ω)X(ω) on noteS(ω) (respectivementD(ω)) la plus grande (respectivement la plus petite) valeur propre de M(ωuxdesiinleabrivanote)atine´dΩaeotas´lus(rrise,A,P). p a)Montrerquelaprobabilit´edel´eve´nement[X=Yep´enndost]e:raP([X=Yet en]) = 2p d´eduirelaprobabilite´dele´ve´nement{ωΩ ;M(ω) est inversible}. b)Calculerlacovariancedesvariablesale´atoiresSetD.
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