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HEC III 2004
EXERCICE ´ 1. Etuded’une suite et programmation On note (cn)nNsuitlaelleer´einpe´deuoetuotrrientnstrictement positif par : Z 1n1 x cn= dx 1 +x 0 a) Montrerque (cn)nNfi.ssotie´detorcenutsiuse´eerspelsaisednt 1 b) Montrerque, pour tout entiernstrictement positif, l’on a :cn+1+cn=n 1 1 ´ c) Etablir,pour tout entiernitalegn´:´eag`l2al,dauolbiesup´erieurou´e62cn6n n1 Ende´duireune´quivalentsimpledecnquandntend vers l’infini. d) Calculerc1et prouver, pour tout entierne:t´ilage´l,2a`lagerieurou´sup´e  ! n1 X k+1 (1) n cn= (1)ln 2 k k=1 ´ e) Ecrireun programme en Turbo-Pascal qui, pour une valeur d’un entiernfentr´eesemetcirtitisoptn par l’utilisateur, calcule et affiche la valeur decn. ´ 2.Etudedunesuitedevariablesale´atoires`adensite´ Pour tout entiernstrictement positif, on notefnl’application deRdansRein:rape´d 0 sit <1 fn(t) =1 sit>1 n cnt(1 +t) ` a)Alaidedunchangementdevariable,´etablirpourtoutentiernstrictement positif et pour tout Z Z x1n1 1u r´eelxeiruuoe´ag`l1al,sup´erd:e´tilage´t= dun t(1 +t+) 1u 1 1/x b)End´eduireque,pourtoutentiernstrictement positif,fn.tuesabilit´ee´edrpboenedsnti
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