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ECOLE DES HAUTES ETUDES COMMERCIALES MATH II ECONOMIQUE
Danstoutleprobl`eme,onconsid`ereunesuiteinniedelancersdunepi`ecee´quilibre´e,cest-a`-direpour laquelle,`achaquelancer,lesapparitionsdepileet defacesnoles.obabuiprt´eq Onadmetquelexp´erienceestmode´lis´eeparunespaceprobabilise´(Ω,A,P). Pour tout entier naturel non nulnsi´end,oarepgnRnne´ve´ltnemepile apparaˆıt au lancer de rangnet parSnne´vnemete´larppıtaˆfeaacedargnuaalcnren
PartieI:Unr´esultatutile Onconside`reunevariableale´atoireXe´ndr(Ωiesu,A,P), prenant ses valeurs dansNet, pour tout entier naturel non nuln, on pose :an=P([X=n]). +X 1.a) Justifierque la suite (an)n>1tuessuneeditmoneserbee´ropsl´vreunslsfuoisittianan= 1. n=1 b)Montrerque,pourtoutnombrer´eelxantna`lappraetle[0interval,etedgemr´saleire1],n´´ealer n anxest convergente. +X n 2.pengise´ndOrafreavitn0ll[end´ectiosurlnienofal,1] par :x[0,1], f(x) =anx. n=1 Onsupposequecettefonctionestde´rivableaupoint1;elleve´riedonc: f(1)f(x) 0 lim =f(1) x11x x<1  ! +n1 X X f(1)f(x) k ´ a)Etablirpourtoutnombrer´eelxde l’intervalle [0,=t´e:le´agil[1anx. 1x n=1k=0 f(1)f(x) b)Ende´duirequelafonctionx7→est croissante sur [0,uttourpoee´irllveuqe[1te 1x f(1)f(x) 0 nombrere´elxde l’intervalle [0,0:s1l[senie´galit´essuivante6 6f(1). 1x N X 0 c) Montrerque, pour tout entier naturelNnon nul, on a :06nan6f(1). n=1 Ende´duirequelas´eriedetermeg´ene´ralnanest convergente.
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