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HEC 2004, math 2, option scientifique Touteslesvariablesale´atoiresquiinterviennentdansceproble`mesontde´niessurunmˆeme espaceprobabilise´(Ω,F, P). Lobjetdeceprobl`emeestlarechercheetl´etudedeloisposse´dantunepropri´et´e,ditedestae´tilib, quiintervientdanslamod´elisationdenombreuxphe´nome`nessatisfaisantunecertaineinvariance de´chelle. SoitXairavenuae´laelbuentiuq(eustier´etoir.OndelleXk)k>1esesnetueal´irtobairaselaved suite de copiesdeXsi (Xk)k>1yasateanndpe´endiselbairavedetiuestunesleioˆmmetusetnot queX. uiaubnledvitaqreatOoneal´e´lerireelXsuit une loistableleiisenuetsixe´retiusellestrictement positive (an)n>1telle que, pour toute suite (Xk)k>1de copies deXet pour tout entierneriesup´ru oue´gal1,X1+∙ ∙ ∙+Xn, etanXetiu(de´tsaleˆetmon´vreifeemol.inOtluniciacilemenan)n>1 siXtpesuneu(asnidnO.tneqsrolaarsqreepllemursˆuean)n>1est lasscotiaesu´ieeidloea`al X. On noteNe´agxua`(1erssup´erieursousnelbmesedeitneli.e.{1,2,3, . . .}). 1π On admettra queA >0,ArctanAionAressexpo`ul=atnA+crctonniongisfaleatcre´dn A2 π π r´eciproquedelarestrictiondelafonctiontangente`a],[. 2 2 PartieI:Unr´esultatsurcertainessuitespositives Soit (un)n>1suitunese´lederestrictement positifsire´´tseusvinaets:erv´porpxuedseltnai 2 - pour tout couple d’entiers (m, n)N, umn=umun, 2 -ilexisteunr´eelstrictementpositifAtel que, pour tout couple (m, n)N, sim6n, alors um6Aun. α Onveutmontrerquilexisteunr´eelpositifαtel que, pour tout entiernN,un=n. 1)Montrer queu1= 1. k uple (r, k)N×N, u 2)Montrer que, pour tout cor=ur. k 3)SoitrN, r>ilexisteunr´eel.2oMtnerqruαrtel que, pour tout entiernde la forme k αr ru`o,kest un entier positif,un=n. Exprimerαren fonction deret deur. 2 4)Soit (r1, r2)N, r2> r1>ortninO.2slesr´eeduitalorslαr1etαr2´deinelsslaon questionpre´ce´dente. k ` k+1 a)SoitkN. Montrer qu’il existe un entier`tel quer6rr <. 2 1 2 k+1k+1 k αrαrk αrαr b)riqeeu(du´endEr)6A(r() etr)6A(r) . 2 11 2 2 22 2 c)En faisant tendrek´etilage´leriude´,dninislervαr1=αr2. Conclure. Partie II :La loi gaussienne
Albgeuassnuveraainsit´edondeladerpxeisselepplelraOnmedenneienneyomet de variance 2 σ: 2   1 (xm) fm,σ(x) =exp2 2 2σ 2 2πσ 1)Soitaue´rnlestrictement positifetbetcconques.edxu´reesluqle Trouvertroisr´eelsα, m, σ, que l’on exprimera en fonction dea,b,ctels que : 2 (xm) 2 xR,+α=ax+bx+c 2 2σ Z r +2  π b4ac 2 2)nE´deruqdeiuexep(ax+bx+c) dx.= exp a4a −∞ 0 3)SoientGetGeuxvariadceesr´ntssaunnieiotagserselbe´lancesariasdevnaetepdndne´eeis 2020 0 respectivesσetσ.Rrrentmo´eedallancculaentnsde´eitaleddioleG+G, queG+G estunevariablegaussiennedontondonneralesp´eranceetlavariance. 4)Montrer queGaltstiuseuQ.eell`aeelolasseai´ocdienuleustibaeliotsG?