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HEC III 2004
EXERCICE ´ 1. Etuded’une suite et programmation On note (cn)nNsuitlaelleer´einpe´deuoetuotrrientnstrictement positif par : Z 1n1 x cn= dx 1 +x 0 a) Montrerque (cn)nNfi.ssotie´detorcenutsiuse´eerspelsaisednt 1 b) Montrerque, pour tout entiernstrictement positif, l’on a :cn+1+cn=n 1 1 ´ c) Etablir,pour tout entiernitalegn´:´eag`l2al,dauolbiesup´erieurou´e62cn6n n1 Ende´duireune´quivalentsimpledecnquandntend vers l’infini. d) Calculerc1et prouver, pour tout entierne:t´ilage´l,2a`lagerieurou´sup´e  ! n1 X k+1 (1) n cn= (1)ln 2 k k=1 ´ e) Ecrireun programme en Turbo-Pascal qui, pour une valeur d’un entiernfentr´eesemetcirtitisoptn par l’utilisateur, calcule et affiche la valeur decn. ´ 2.Etudedunesuitedevariablesale´atoires`adensite´ Pour tout entiernstrictement positif, on notefnl’application deRdansRein:rape´d 0 sit <1 fn(t) =1 sit>1 n cnt(1 +t) ` a)Alaidedunchangementdevariable,´etablirpourtoutentiernstrictement positif et pour tout Z Z x1n1 1u r´eelxeiruuoe´ag`l1al,sup´erd:e´tilage´t= dun t(1 +t+) 1u 1 1/x b)End´eduireque,pourtoutentiernstrictement positif,fn.tuesabilit´ee´edrpboenedsnti
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HEC III 2004 Dans la suite de l’exercice, on suppose que (Xn)nNseeisse´nruel´ealesblsdreoiattiusenutairavede mˆemeespaceprobabilise´(Ω,A,P), telle que, pour tout entiernstrictement positif,Xnprend ses valeurs dans [1,+[ et admetfnocmmdesiene.t´noOnteFnofalitcnednope´rtionartideXn. c) Pour quelles valeurs deneriotae´valaalleabriXncaso`ue?Danslepse´arcnleelnuee-temda lesp´erancedeXnondenctineofnaec´preetselecuetrcteisal,cxecnet decn1. d) Danscette question, exclusivement, on suppose quensege´ta`larP.1´eciserlafonctionF1. 1 End´eduirelensembledesr´eelsyire´vtnaP([X16y])>2 D´eterminerunedensite´delavariableale´atoireZ= ln(X1). e) Soitx.1a`reeslrtcinu´rup´erieutrements Z 1n u1 Justifier l’encadrement :06du62 (1 +u)n+ 1 1/x  ! Z 1n u End´eduirelalimitesuivante:limdu. 2 (1 +u) n+1/x Transformer, pour tout entier naturelnnon nul,Fn(xtrapeseitnteigr´eioatarnp)a`liaeddnu ende´duirel´egalite´suivante:limFn(x) = 1 . n+f) Quevaut limFn(x) sixessrivaleabiusaedetrertleuql`a1?Monurou´egani´freeiutrne´le n+al´eatoires(Xn)nNablevarionpquelsire´rce.anvcoolneegreenusrevi
` PROBLEME Dansceprobl`eme,ntiernaturelnonnueltse´denginenuE´dsegienlsesedleirotcevecap`aesomnˆlypo coecientsre´els,dedegre´inf´erieuroue´gala`2n. k k Pour tout entier naturel non nulk, on noteXomelepolynˆx7→xet on rappelle que la famille 2n (1, X, . . . , X) est une base deE. 2n X k Sia0, a1, . . . , a2nsont 2neels+1r´teQˆnmoopyltseleurisn´eedRpar :Q(x) =akx, 2n X k=0 k onde´nitlepolynoˆmes(Q) par :s(Q)(x) =a2nkx. k=0 Autrement dit,s(Q)nu`aobteirdepartltpeseoˆemlonyQeninversant l’ordre des coefficients. 4 3 24 2 Par exemple, sin`lagaee´ts2et siQ(x) = 4x+ 7x+ 2x+ 1, on obtients(Q)(x) =x+ 2x+ 7x+ 4. Lestroispartiesdeceprobl`emesontlargementinde´pendantes.
PARTIE A 1.Lin´earit´edes Montrer que l’applications:Q7→s(Qaenutse)itacilppean´lioneedirE-iˆmsnuldame.e 2. Diagonalisationdans un cas particulier   0 0 1   a)Onconside`relamatricecarr´eedordre3:M1 0.= 0 1 0 0 Justifier sans calcul que la matriceMe´D.mretsilaelbadistonagesdeopreelvsniresrrplaueMet, pourchacunedentreelles,donnerunebasedusous-espacepropreassoci´e. b)Ve´rierque,danslecasparticuliern= 1,Miren´eaedictrmalasteilnoitacilppalesdans la 2 base (1, X, X). Donner alors une base de vecteurs propres pours.
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3.Etudeducasge´n´eral Onde´nitlafamilledepolynˆomes(A0, ...., A2n) par : 2nk k Ak(x) =x+xsi 06k6n1 n pourtoutr´eelx,An(x) =x k2nk Ak(x) =xxsin+ 16k62n a)De´terminerlendomorphismess. b) SoitPynuonlpmeˆonnnoetulλrnulee´re´vnaits(P) =λP. Calculerss(Pe)etdne´uddserporpeleueeqirrseualsvstrappaent`ienna{1,1}. c)De´terminers(Ak) pour tout entierknt0riav´e6k62n. d) Montrerque la famille (A0, ...., A2n) est libre. e)End´eduirequelendomorphismeseidtsleabr´,ponagisalerseeciseurssvaleresrppomineltdaonsi de chacun de ses sous-espaces propres.
PARTIE B 1.Pre´liminaires Ond´enitunesuite(Rk)kNpednyl:oreampoˆs 2 pourtoutre´elx,R1(x) =x,R2(x) =x2 et pour tout entierkrieuup´es,2a`´uorlageRk+1(x) =xRk(x)Rk1(x) a)D´eterminerlespolynoˆmesR3etR4. b) Montrerque, pour tout entierkstrictement positif,Rkseutnyoˆpnlodemegrde´ektnaruopvri´e   1 1 k toutre´elxtie´:nonnul,l´egalRkx+ =x+k x x c)Pourtoutr´eelasrleel´ess,reslitsix,tne,d´eterminexnoulnnionselatnte:uiva´vreqsiultraine 1 x+ =a. x ´ 2.Etudedesracinesdespolynˆomesvecteurspropresdessaosice´erpeuprroals`alav1 2n X k Dans cette question,Qrge´ededoˆemlonyeunpsignd´e2nr:panied´Q(x) =akx, tel quea2nsoit k=0 non nul et tel que, pour tout entierkde l’intervalle[0, n]], l’on ait :ak=a2nk. n X e e Onde´nitalorslepolynoˆmeQpar :Q(x) =an+ankRk(x). k=1 a)V´erierque0nestpasracinedeQ. 1 b) Soitxunr´:,lnoopeseenlnouny=x+x Q(x) e Montrer queest nul si et seulement siQ(y) est nul. n x Quelestlint´ereˆtdecer´esultatdanslarecherchedesracinesdeQ? c) Onsuppose quentquese´tgelaa`e3Q:restd´enipa 6 54 3 2 Q(x) =x+x9x+ 2x9x+x+ 1. D´eterminerlesracinesdeQ.
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