Cet ouvrage fait partie de la bibliothèque YouScribe
Obtenez un accès à la bibliothèque pour le lire en ligne
En savoir plus

HEC 2005 mathematiques ii classe prepa hec (s)

4 pages
HEC 2005, math 2Dans tout le probl`eme, n et r d´esignent des entiers strictement positifs. On note M (R),n,rl’ensemble des matrices rectangulaires a` n lignes et r colonnes a` coefficients r´eels. Pour n =r, onpose M (R) =M (R).n n,n∗ nPour tout entier n deN , on identifieR et M (R).n,1tLa transpos´ee d’une matriceA appartenant `aM (R) est not´ee A. On pourra ´egalement la noternTA .On ´etudie dans ce probl`eme, quelques propri´et´es du mod`ele lin´eaire, qui constitue l’instrumentde base de l’´econom´etrie.Partie I : Trace et matrices al´eatoiresPour toute matrice M appartenant a` M (R), on appelle trace de M, not´ee tr(M), la somme dennXses coefficients diagonaux; ainsi, si M = (m ) , tr(M) = m .i,j 16i,j6n i,ii=1On rappelle les trois r´esultats suivants (que les candidats n’ont pas a` d´emontrer)• l’application tr qui, a` toute matrice M deM (R), associe sa trace, est une application lin´eairende M (R) dansR;n• si A est une matrice de M (R) et B une matrice de M (R), alors tr(AB) = tr(BA);n,r r,n• si M et N sont deux matrices semblables de M (R), alors tr(M) = tr(N).n1) SoitM une matricedeM (R) poss´edantq valeurs propres (16q6n) not´eesλ ,λ ,...,λ .n 1 2 qPour tout entier i de [[1,q]], on d´esigne par n la dimension du sous-espace propre associ´e a`ila valeur propre λ .iqXa) On suppose que la matrice M est diagonalisable surR. Montrer que tr(M) = n λ .i ii=1b)OnsupposequelamatriceM = (m ) deM (R)estsym´etrique.Montrerles´egalit´esi,j 16i,j6n ...
Voir plus Voir moins
HEC 2005, math 2
Danstoutleprobl`eme,netrtposemens.Onitifonetd´igesntneesedeitntssrtcirMn,r(R), lensembledesmatricesrectangulairesa`nlignes etrclonocientsrnes`acoerulee´oP.sn=r, on poseMn(R) =Mn,n(R). n Pour tout entierndeN, on identifieRetMn,1(R). t Latranspos´eedunematriceAa`taprtpaanenMn(Re)ntsee´toAelemtnalonetr.Onpourra´ega T A. On´etudiedansceproble`me,quelquespropri´et´esduelildoe`rie´naem, qui constitue l’instrument debasedele´conom´etrie.
PartieI:Traceetmatricesale´atoires Pour toute matriceMtna`etanppraaMn(R), on appelle trace deM,(eetrnot´M), la somme de n X ses coefficients diagonaux; ainsi, siM= (mi,j)16i,j6n,tr(M) =mi,i. i=1 On rappelle)rertadstnaidelcsq(euemon`ad´tpasnonlerostr´islusestatviusstna tacilppalteouat,`uirqntioamrtcieMdeMn(Racilnoitnutsppaeen´liirea,)atrace,eassocies deMn(R) dansR; siAest une matrice deMn,r(R) etBune matrice deMr,n(R), alors tr(AB) = tr(BA) ; siMetNsont deux matrices semblables deMn(R), alors tr(M) = tr(N). 1)SoitMune matrice deMn(Rsspo)tne´adqvaleurs propres (16q6nnot´)seeλ1, λ2, . . . , λq. Pour tout entieride[1, qo,dne´isgnepar]]nisl-aedsipmaecnesiondusouosice´a`rppoersa la valeur propreλi. q X a)On suppose que la matriceMest diagonalisable surR. Montrer que tr(M) =niλi. i=1 b)On suppose que la matriceM= (mi,j)16i,j6ndeMn(Rtie´gelasse)mystrte´ueiqon.Mertrs´le suivantes : q nn X XX t 22 2 tr(M M) = tr(M) =niλ=mi,j i i=1i=1j=1 2)Pour tout entieride[1, n]] et pour tout entierjde[1, rseritoeal´saleabriva`dredeseo,cnnois]] re´ellesZi,jΩ´s(eibilorabcapenespsuruniesd´e,A, µlaO.)e´dntinmaictrl´eatoearieZ`,a nlignes etrcolonnes,enassota`tnaictuoωde Ω, la matrice :   Z1,1(ω). . .Z1,r(ω)     . Z(ω) =.=Zi,j(ω) 16i6n ... 16j6r Zn,1(ω)Z. . .n,r(ω) On suppose que lesnrs´eatoirelaselbairavZi,jadmenceepse´arteettnnuE(Zi,j,e)ndtone´ti lesp´erancedelamatriceZeE(ot´en,Z), comme la matrice deMn,r(Rstestlon)deneml´´e   sontlesespe´rancesE(Zi,j), soitE(Z) =E(Zi,j) . 16i6n 16j6r SiZetWa`seriotae´lsaceriatxmeutsdonnlignes etrcolonnes admettant chacune une esp´erance,etsiλno,lamertseee´rerqueraquE(λZ+W) =λE(Z) +E(W). Danslecasou`n=r, on appelle trace deZrt(´teeno,Zal´eablered´atoiinerapeavir,)al n X tr(Z) =Zi,iet sin=roire=1l,mataireclae´taZtaioerco¨ıncideaveclavariableal´eZ i=1 et on a tr(Z) =Z. t t Danslecaso`ur= 1 etnest quelconque, siT= (T1T. . .n) etW= (W1W. . .n) n sontdeuxvecteursale´atoiresdeR, et siλe,ond´euelconqunu´reeqletsruetltinceve n ale´atoireλT+WdeRpar : t λT+W= (λT1+W1. . .λTn+Wn)
Un pour Un
Permettre à tous d'accéder à la lecture
Pour chaque accès à la bibliothèque, YouScribe donne un accès à une personne dans le besoin