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HEC 2007 mathematiques 2 classe prepa hec (s)

4 pages
HEC 2007, math 2, option scientifiquePour toute variable al´eatoire r´eelle Y d´efinie sur un espace probabilis´e (Ω,A,P) et poss´edantune esp´erance math´ematique, on note E(Y) cette esp´erance pour la probabilit´e P. Pour tout´ev´enement C de A tel que P(C)> 0, on note, sous r´eserve d’existence, E(Y/C) l’esp´erance de Ypour la probabilit´e conditionnelle P (esp´erance conditionnelle de Y sachant C).CPartie ICette partie constitue une application particuli`ere des r´esultats g´en´eraux ´etudi´es dans la suite duprobl`eme.On poss`eden urnes (n> 3) num´erot´ees de 1 a`n, dans lesquelles on r´epartit au hasard et de fa¸conind´ependante,m boules indiscernables (m> 4), de sorte que, pour touti de [1,n]], la probabilit´epour chaque boule d’ˆetre plac´ee dans l’urne num´ero i soit ´egale `a 1/n.`On suppose que cette exp´erience est mod´elis´ee par un espace probabilis´e (Ω,A,P). A l’issue decette exp´erience, on pose pour tout i de [[1,n]] :n o1 si l’urne n i est videX =i0 sinonnXOn pose W = X .n ii=11)a)D´eterminer pour tout i de [[1,n]], la loi de la variable al´eatoire X .ib)Pour tout couple (i,j) d’entiers de [[1,n]] distincts, calculerP([X = 1]∩[X = 1]), ainsi quei jla covariance de X et X . Les variables al´eatoires X et X sont-elles ind´ependantes?i j i j2)a)Exprimer l’esp´erance E(W ) de W en fonction de n et m.n nb)On note V(W ) la variance de W . Calculer V(W ) en fonction de n et m.n n n 2m m1 22c) V´erifier l’´egalit´e : E(W )−V(W ) =n ...
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HEC 2007, math 2, option scientifique Pourtoutevariableal´eatoirere´elleY´endruneiesupeorpscail´sabibΩe(,A, P)tnad´esspoet uneespe´rancemath´ematique,onnoteE(Y)cetteesruoprpalre´pecna´eabobitilP. Pour tout e´ve´nementCdeAtel queP(C)>0,ese´rsuos,etonno,ceenstxieedrvE(Y /Cedee)l´espncraY pourlaprobabilit´econditionnellePCetidionecedllneone(pse´arcnYsachantC). Partie I Cettepartieconstitueuneapplicationparticulie`redesr´esultatsge´n´eraux´etudie´sdanslasuitedu proble`me. Onposse`denurnes (n>nu3)`1aseedtoe´´mrenlpeasrotqnure´lehsalseasi,tdaaunedafdrtec¸no inde´pendante,mboules indiscernables (m>4), de sorte que, pour toutide[1, n,l]]roapbibat´lie pourchaquebouledeˆtreplace´edanslurnenume´roi1a`elage´tios/n. ` Onsupposequecetteexpe´rienceestmod´elise´eparunespaceprobabilis´e(Ω,A, P). A l’issue de cetteexp´erience,onposepourtoutide[1, n]] : n o 1 sil’urne niest vide Xi= 0 sinon n X On poseWn=Xi. i=1 1)a)uotD´eterminerpourtide[1, n],]aleirtoeal´aelbairavalediolXi. b)Pour tout couple (i, j) d’entiers de[1, n]] distincts, calculerP([Xi= 1][Xj= 1]), ainsi que la covariance deXietXjriablesa.Lesvase´laeotriXietXjinesepd´ntsoll-e?adnesetn 2)a)rancsp´erlerimepxEeE(Wn) deWnen fonction denetm. b)On noteV(Wn) la variance deWn. CalculerV(Wn) en fonction denetm.    2m m 1 2 2 c)Vire´lreeg´ital:´eE(Wn)V(Wn) =n1− −n(n1) 1. n n Ende´duirequeE(Wn)V(Wn)>0. 3)Dans cette question, l’entiermre´veim=bnlnn+θnc,o`uθtsnaet´rtsnucenoeellee positive etbxctrapalengise´dredeti`eieenx. a)Calculer limE(Wn). n+  b)limMontrer queE(Wn)V(Wn) =0. n+c)SoitTnisPodeoiarepndsoiuqeriotlenutiusunevariableal´eartemae`µn=E(Wn). On admet que pour toutkdeN, on a :     1 |P([Wn=k])P([Tn=k])|6min 1,×µnV(Wn) µn Quelleestlalimiteenloidelasuitedevariablesal´eatoires(Wn)n>3? θ 4)On poseµsnpue,otuqleopesam`eepaer=treµest inconnu. Dans cette question, on veut estimerµ. Pourpentier deNere`nu,onconsidp-hce´itnaonlld´inenepntdae´ubirtsdintmeueiqntde,i (T1, T2, . . . , Tp`mteaparnoediossidePlalo)dereµ. On pose : p X 1Tpµ Tp=TietUp=pp µ i=1 a)Montrer queTptsmitaueseutenerduntgeeretm`rapaaibsnasrvnoctesiµ. b)iteealimdelanloiuQseltleel´ealoiats(retiusvedeairaselbUp)p>1? c)On veut construire, pourpeledocnnaecausdsaepzgrand,unintervalm`rareetµau risque αode´nnioS.tuittfopiseleuqlstrr´eementicteelP([U>u]) =α/`u2oUest une variable ale´atoirequisuitlaloinormalecentr´eere´duite. Justifier que pourpssagreze:rcritue´noepna,dP([|Up|6u]) = 1αrsloarenimrete´dte, un intervalle de confiance [Ip, Jp] pourµau risqueα.
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