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HEC 2007, math 2, option scientifique Pourtoutevariableal´eatoirere´elleY´endruneiesupeorpscail´sabibΩe(,A, P)tnad´esspoet uneespe´rancemath´ematique,onnoteE(Y)cetteesruoprpalre´pecna´eabobitilP. Pour tout e´ve´nementCdeAtel queP(C)>0,ese´rsuos,etonno,ceenstxieedrvE(Y /Cedee)l´espncraY pourlaprobabilit´econditionnellePCetidionecedllneone(pse´arcnYsachantC). Partie I Cettepartieconstitueuneapplicationparticulie`redesr´esultatsge´n´eraux´etudie´sdanslasuitedu proble`me. Onposse`denurnes (n>nu3)`1aseedtoe´´mrenlpeasrotqnure´lehsalseasi,tdaaunedafdrtec¸no inde´pendante,mboules indiscernables (m>4), de sorte que, pour toutide[1, n,l]]roapbibat´lie pourchaquebouledeˆtreplace´edanslurnenume´roi1a`elage´tios/n. ` Onsupposequecetteexpe´rienceestmod´elise´eparunespaceprobabilis´e(Ω,A, P). A l’issue de cetteexp´erience,onposepourtoutide[1, n]] : n o 1 sil’urne niest vide Xi= 0 sinon n X On poseWn=Xi. i=1 1)a)uotD´eterminerpourtide[1, n],]aleirtoeal´aelbairavalediolXi. b)Pour tout couple (i, j) d’entiers de[1, n]] distincts, calculerP([Xi= 1][Xj= 1]), ainsi que la covariance deXietXjriablesa.Lesvase´laeotriXietXjinesepd´ntsoll-e?adnesetn 2)a)rancsp´erlerimepxEeE(Wn) deWnen fonction denetm. b)On noteV(Wn) la variance deWn. CalculerV(Wn) en fonction denetm.    2m m 1 2 2 c)Vire´lreeg´ital:´eE(Wn)V(Wn) =n1− −n(n1) 1. n n Ende´duirequeE(Wn)V(Wn)>0. 3)Dans cette question, l’entiermre´veim=bnlnn+θnc,o`uθtsnaet´rtsnucenoeellee positive etbxctrapalengise´dredeti`eieenx. a)Calculer limE(Wn). n+  b)limMontrer queE(Wn)V(Wn) =0. n+c)SoitTnisPodeoiarepndsoiuqeriotlenutiusunevariableal´eartemae`µn=E(Wn). On admet que pour toutkdeN, on a :     1 |P([Wn=k])P([Tn=k])|6min 1,×µnV(Wn) µn Quelleestlalimiteenloidelasuitedevariablesal´eatoires(Wn)n>3? θ 4)On poseµsnpue,otuqleopesam`eepaer=treµest inconnu. Dans cette question, on veut estimerµ. Pourpentier deNere`nu,onconsidp-hce´itnaonlld´inenepntdae´ubirtsdintmeueiqntde,i (T1, T2, . . . , Tp`mteaparnoediossidePlalo)dereµ. On pose : p X 1Tpµ Tp=TietUp=pp µ i=1 a)Montrer queTptsmitaueseutenerduntgeeretm`rapaaibsnasrvnoctesiµ. b)iteealimdelanloiuQseltleel´ealoiats(retiusvedeairaselbUp)p>1? c)On veut construire, pourpeledocnnaecausdsaepzgrand,unintervalm`rareetµau risque αode´nnioS.tuittfopiseleuqlstrr´eementicteelP([U>u]) =α/`u2oUest une variable ale´atoirequisuitlaloinormalecentr´eere´duite. Justifier que pourpssagreze:rcritue´noepna,dP([|Up|6u]) = 1αrsloarenimrete´dte, un intervalle de confiance [Ip, Jp] pourµau risqueα.
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