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HEC 2007 mathematiques 3 classe prepa hec (eco)

4 pages
6H.E.C. 2007´OPTION : ECONOMIQUE´MATHEMATIQUES IIILa pr´esentation, la lisibilit´e, l’orthographe, la qualit´e de la r´edaction, la clart´e et la pr´ecision desraisonnements entreront pour une part importante dans l’appr´eciation des copies.Les candidats sont invit´es `a encadrer dans{a mesure du possible les r´esultats de leurs calculs.Ils ne doivent faire usage d’aucun document : l’utilisation de toute calculatrice et de tout mat´eriel´electronique est interdite.Seule l’utilisation d’une r`egle gradu´ee est autoris´ee.EXERCICE3 31. On consid`ereR muni de sa base canonique (e ,e ,e ); soit t l’endomorphisme deR , dont la1 2 3matrice associ´ee T relativement a` cette base s’´ecrit : 1 1 1 T = 0 1 00 1 0Calculer les valeurs propres de t. D´eterminer les sous-espaces propres de t associ´es, et donnerune base de chacun d’entre eux.L’endomorphisme t est-il diagonalisable? Est-il bijectif?L’objet des questions suivantes est une g´en´eralisation des r´esultats pr´ec´edents.∗ 2n+12. Soit n un entier de N . On consid`ere l’espace vectoriel R 1 muni de sa base canonique2n+1(e ,e ,··· ,e ). Soit t l’endomorphisme deR d´efini par :1 2 2n+1– pour tout entier i de [1,2n+1], avec i = n+1 : t(e ) = e ;i 1– t(e ) = e +e +···+e .n+1 1 2 2n+1a) D´eterminerlamatriceT associ´eea`l’endomorphismetrelativementa`labase(e ,e ,··· ,e )1 2 2n+1b) D´ le rang de t, ainsi que la dimension du noyau de t.c) Justifier que 0 est valeur propre de t. D´eterminer la dimension du ...
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H.E.C. 2007 ´ OPTION : ECONOMIQUE ´ MATHEMATIQUES III
Lapre´sentation,lalisibilit´e,lorthographe,laqualit´edelare´daction,laclarte´etlapre´cisiondes raisonnementsentrerontpourunepartimportantedanslappre´ciationdescopies. Lescandidatssontinvite´sa`encadrerdans{se´ratluedstrueledurosupblsieselsecsaalmculs. Ilsnedoiventfaireusagedaucundocument:lutilisationdetoutecalculatriceetdetoutmate´riel e´lectroniqueestinterdite. Seulelutilisationduner`eglegradu´eeestautorise´e.
EXERCICE 3 3 1.Onconsid`ereRmuni de sa base canonique (e1, e2, e3soit) ;tl’endomorphisme deR, dont la matriceassocie´eTlernemevitat`acettebases´ercti:   1 1 1   T= 01 0 0 1 0
Calculer les valeurs propres detedseelssnireetmrD.e´roprcespespaous-te,se´icossarneontd une base de chacun d’entre eux. L’endomorphismet?? Est-il bijectifest-il diagonalisable Lobjetdesquestionssuivantesestuneg´ene´ralisationdesre´sultatspr´ece´dents. 2n+1 2. Soitnun entier deNleepscaveceotir.Onconsid`erleR1 muni de sa base canonique 2n+1 (e1, e2,∙ ∙ ∙, e2n+1). Soittl’endomorphisme deR´diner:pa – pourtout entieride [1,2n+ 1],aveci6=n+ 1 :t(ei) =e1; t(en+1) =e1+e2+∙ ∙ ∙+e2n+1. a)D´eterminerlamatriceTehismmorpendoee´ila`acosstre(sealabtna`evemalite1, e2,∙ ∙ ∙, e2n+1) b)De´terminerlerangdet, ainsi que la dimension du noyau det. c) Justifier que 0 est valeur propre detetmrD.e´ladiineriondmensse-suosuporpecapre associ´e`alavaleurpropre0,ainsiquunebasedecesous-espace. 2n+1 3. Montrerque Im(tt)Im (t(Im`u,o)unudegamilengis´e)dehismmorpendoudeR ˜ ˜ 4. Soittsluneim(rImodnhproemsie´dt) par : pour toutxde Im(t),t(x) =t(x)  P2n+1 ´ ´˜ Etablir queB=e1, ei(constitue une base de Imtlamarireeeea`sastorcii´c.cE)t i=1 relativementa`labaseB 5. a)Soitλune valeur propre non nulle det, etxvecteurpunco´i`eaorrpaessλ. Montrer que x(mIpaapeitra`tnt). b)Ende´duiretouteslesvaleurspropresdet. L’endomorphismetest-il diagonalisable?
` PROBLEME Touteslesvariablesal´eatoiresquiinterviennentdansceproble`mesontconside´re´escommed´eniessur desespacesprobabilis´esnonn´ecessairementidentiques,maisqui,parsoucidesimplication,seront tousnote´s(Ω,A,P)
HEC III 2007 eco
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