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INSEEC MATHEMATIQUES 1`ere´epreuve(optiontechnologique)
Lescandidatsnedoiventpasfaireusagedaucundocument;lutilisationdetoutecalculatriceetdetoutmat´eriel ´electroniqueestinterdite. Seulelutilisationdunere`glegradu´eeestautorise´e.
Exercice 1 Ladur´eedunecommunicationt´ele´phoniqueestassimil´ee`aunevariableal´eatoireXdont la fonction de re´partitionFar:´eepnnodtse F(x) = 0six60 x F(x) = 1esix >0 1.Calculerlaprobabilit´eP(06X62). 2.De´terminerladensit´efde la loi deX. 3.Calculerlespe´rancemathe´matiquedeXinotn´peugnreaitratiireeaeruptafo(pn)s 4.Onconside`re5000appelsetond´ecidedecomptabiliserlenombredappelsdontladur´eeestcomprise entre 0 et 2. SoitY.2sapelbmontnalslodpaeperdassed´epeenedur´ (a) donnerla loi deY (b)d´eterminerlesp´eranceetl´ecarttypedeY 2 NB :On donnee= 0,135
Exercice 2    1 0 03 0 2    Onconside`relesmatricesI1 0 ,= 0A3 2= 0 0 0 10 0 1   n n 3 031   n nn 1.Ve´rier,parr´ecurrencequenN,on a :A3 3= 01 0 01 2.Onconside`relessuites(Un)nN,(Vn)nNet (Wn)nNdraeipse´nUn+1= 3Un+ 2Wn U0= 2, V0=1, W0= 3 etnN, Vn+1= 3Vn+ 2Wn Wn+1=Wn   Un   Ond´esigneparXnla matrice :Xn=Vn Wn (a)V´erierqueXn+1=AXn n (b)Etablirparr´ecurrenceque:nN, Xn=A X0 (c) ExprimerUn, VnetWnen fonction den 1