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INSEEC 2002 mathematiques classe prepa hec (ecs)

3 pages
INSEECMATHEMATIQUES1`ere ´epreuve (option scientifique)Les candidats ne doivent pas faire usage d’aucun document; l’utilisation de toute calculatrice et de tout mat´eriel´electronique est interdite.Seule l’utilisation d’une r`egle gradu´ee est autoris´ee.1 Exercice 1Soit n∈N. On se propose d’´etudier l’existence et les propri´et´es des polynˆomes P (X) tels que :n 1 1n∀t∈C−{0}, P t+ =t + (relation 1)n nt t1.(a) Montrer que si P existe alors P est unique.n n12(b) Justifier queP (X) = 2, queP (X) =X et , en d´eveloppant (t+ ) , calculerP (X) v´erifiant0 1 2tla relation (relation 1).2. Montrer par r´ecurrence que : ∀n∈N, P existe etnP (X) =XP (X)−P (X). (relation 2)n+2 n+1 n3. D´eterminer le degr´e de P , son terme de plus haut degr´e et sa parit´e.n4.1(a) Soit θ ∈ R. D´eterminer un complexe non nul t , t ∈ C−{0}, tel que t + = 2 cos(θ) puistcalculer P (2 cos(θ)) en fonction de n et θ.n(b) En d´eduire les racines de P en fonction de n et une factorisation de P dansR[X].n n1n(c) R´esoudre dansC l’´equation t + = 0 et retrouver ainsi le r´esultat pr´ec´edent.nt5.(a) Calculer P (X).5(b) En d´eduire une factorisation de P (X) dansR[X].5 π(c) En comparant cette factorisation et celle obtenue en 4.b) donner les valeurs exactes de cos10 3πet cos .102 Exercice 2 0 −2 1 Soit la matrice M = −2 3 −2 .1 −2 03Le produit scalaire utilis´e dans cet exercice est le produit scalaire canonique surR .1. Justifier que M est diagonalisable.12. ...
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INSEEC MATHEMATIQUES 1`ere´epreuve(optionscientique)
Lescandidatsnedoiventpasfaireusagedaucundocument;lutilisationdetoutecalculatriceetdetoutmat´eriel e´lectroniqueestinterdite. Seulelutilisationduner`eglegradue´eestautorise´e.
1 Exercice1 SoitnNnetsteecpselrpor´edudetrliexiemosei´et´esdespolynˆosopprseOn.Pn(X) tels que :   1 1 n tC− {0}, Pnt+ =t1)+ (relation n t t 1. (a) Montrerque siPnexiste alorsPnest unique. 1 2 (b) JustifierqueP0(X) = 2, queP1(X) =Xloppant(,end´evetet, calculer+ )P2(Xtanierv´) t la relation (relation 1). 2.Montrerparr´ecurrenceque:nN,Pnexiste et Pn+2(X) =X Pn+1(X)Pn(X).(relation 2) 3.D´eterminerledegre´dePnepedshlutdaur´egsteerapae´ti.s,noetmr 4. 1 (a) SoitθRtere.´Dlunnoexenomplruncminet,tC− {0}, tel quet(2 cos+ =θ) puis t calculerPn(2 cos(θ)) en fonction denetθ. (b)End´eduirelesracinesdePnen fonction denet une factorisation dePndansR[X]. 1 n (c)Re´soudredansC´luaeqontit´rcee´edtn.insiler´esultatp0=erteuortarev+ n t 5. (a) CalculerP5(X). (b)End´eduireunefactorisationdeP5(X) dansR[X].   π (c) Encomparant cette factorisation et celle obtenue en 4.b) donner les valeurs exactes de cos  10 3π et cos. 10 2 Exercice2   02 1   Soit la matriceM=2 32 . 12 0 3 Leproduitscalaireutilise´danscetexerciceestleproduitscalairecanoniquesurR. 1. JustifierqueMest diagonalisable. 1
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