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INSEEC MATHEMATIQUES 1`ere´epreuve(optionscientique)
Lescandidatsnedoiventpasfaireusagedaucundocument;lutilisationdetoutecalculatriceetdetoutmat´eriel e´lectroniqueestinterdite. Seulelutilisationduner`eglegradue´eestautorise´e.
1 Exercice1 SoitnNnetsteecpselrpor´edudetrliexiemosei´et´esdespolynˆosopprseOn.Pn(X) tels que :   1 1 n tC− {0}, Pnt+ =t1)+ (relation n t t 1. (a) Montrerque siPnexiste alorsPnest unique. 1 2 (b) JustifierqueP0(X) = 2, queP1(X) =Xloppant(,end´evetet, calculer+ )P2(Xtanierv´) t la relation (relation 1). 2.Montrerparr´ecurrenceque:nN,Pnexiste et Pn+2(X) =X Pn+1(X)Pn(X).(relation 2) 3.D´eterminerledegre´dePnepedshlutdaur´egsteerapae´ti.s,noetmr 4. 1 (a) SoitθRtere.´Dlunnoexenomplruncminet,tC− {0}, tel quet(2 cos+ =θ) puis t calculerPn(2 cos(θ)) en fonction denetθ. (b)End´eduirelesracinesdePnen fonction denet une factorisation dePndansR[X]. 1 n (c)Re´soudredansC´luaeqontit´rcee´edtn.insiler´esultatp0=erteuortarev+ n t 5. (a) CalculerP5(X). (b)End´eduireunefactorisationdeP5(X) dansR[X].   π (c) Encomparant cette factorisation et celle obtenue en 4.b) donner les valeurs exactes de cos  10 3π et cos. 10 2 Exercice2   02 1   Soit la matriceM=2 32 . 12 0 3 Leproduitscalaireutilise´danscetexerciceestleproduitscalairecanoniquesurR. 1. JustifierqueMest diagonalisable. 1