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ISCID 1999 Option technologique
Exercice 1 0 SiInn,onrdrera,pposevnneraoc,itnoesamtlirtau-ec´tinodeM=Inpour toute matriceMerrrac,drodee´n. On noteraIlmanit´edoatrice-u-tsed-a`erdrc(4eirI=I4) Soient (an)nN,(bn)nN,(cn)nN,(dn)nN:,dleenimrete´dsetiusseen´onadrlpaes´e   a0= 2an+1=an6bn+ 9cn6dn     b0=1bn+1= 3an+ 8bn9cn+ 6dn etlesrelationsder´ecurrence: c0= 1cn+1= 2an+ 4bn4cn+ 4dn     d0=1dn+1=an+ 2bn3cn+ 4dn   an bn 1. Soit,pour tout entiern>0,Xn=   cn dn (a) Montrerqu’il existe une matriceAr´ar,centietroutpourque,leel4et,rordeedn>1,Xn+1=AXn. 2 2 (b) CalculerAiquertredstxilelee´rxueM.nosαetβtels queA=αA+βI. 1 (c)End´eduirequeAnvtisiere.bl´ePrtneslaresroseAsous forme d’un tableau de nombres. 2. Soient(un)nN, et (vn)nNe´seap:re´etmrnisdteuissle,   u0= 1un+1=2vn etlesrelationsdere´currence: v0= 0vn+1=un+ 3vn n Montrerparre´currenceque,pourtoutentiern>1,A=unI+vnA. 3. (a) Montrerqu’il existe une matriceM2et,leeluq,eopru,carr´eedordrreitnetuotn>1,    un+1un =M vn+1vn   2 1 1 (b) SoitP= .Montrer quePest inversible, et calculerP . 11 1n 4. SoitD=P MP. CalculerD, puis, pour tout entiern>0,D. 5. n n1 (a) Montrerque, pour tout entiern>0,M=PP D. n (b)Pre´senteralorsMsous la forme d’un tableau de nombres. (c) Exprimerunetvnen fonction den. 6. n (a)D´eduiredecequipre´c`edelexpression,pourtoutentiern>0, deAsous la forme d’un tableau de nombres. (b) Donneralors l’expression dean, bn, cn, dnen fonction den. n (c) L’expressiondeAobtenue en a.) pourn>0 est-elle encore valable pourn=1 ?
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