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Iscid 1999 mathematiques classe prepa hec (ect)

4 pages
ISCID 1999 Option technologiqueExercice 10Si I est la matrice-unit´e d’ordre n, on posera, par convention, M =I pour toute matrice M, carr´ee d’ordre n.n nOn notera I la matrice-unit´e d’ordre 4 (c’est-`a-dire I =I )4Soient (a ) ,(b ) ,(c ) ,(d ) , les suites d´etermin´ees par la donn´ee de :n n∈N n n∈N n n∈N n n∈N a = 2 a =−a −6b +9c −6d 0  n+1 n n n n b =−1 b = 3a +8b −9c +6d0 n+1 n n n net les relations de r´ecurrence : c = 1  c = 2a +4b −4c +4d0 n+1 n n n n  d =−1 d =a +2b −3c +4d0 n+1 n n n n an bn 1. Soit, pour tout entier n> 0, X =n  cndn(a) Montrer qu’il existe une matrice A, carr´ee d’ordre 4, telle que, pour tout entier n> 1, X =AX .n+1 n2 2(b) Calculer A . Montrer qu’il existe deux r´eels α et β tels que A =αA+βI.−1(c) En d´eduire que A est inversible. Pr´esenter alors A sous forme d’un tableau de nombres.2. Soient (u ) , et (v ) , les suites d´etermin´ees par :n n∈N n n∈N u = 1 u =−2v0 n+1 net les relations de r´ecurrence :v = 0 v =u +3v0 n+1 n nnMontrer par r´ecurrence que, pour tout entier n> 1, A =u I +v A.n n3.(a) Montrer qu’il existe une matrice M, carr´ee d’ordre 2, telle que, pour tout entier n> 1, u un+1 n=Mv vn+1 n 2 1 −1(b) Soit P = . Montrer que P est inversible, et calculer P .−1 −1−1 n4. Soit D =P MP. Calculer D, puis, pour tout entier n> 0, D .5.n n −1(a) Montrer que, pour tout entier n> 0, M =PD P .n(b) Pr´esenter alors M sous la forme d’un tableau de nombres.(c) Exprimer u et ...
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ISCID 1999 Option technologique
Exercice 1 0 SiInn,onrdrera,pposevnneraoc,itnoesamtlirtau-ec´tinodeM=Inpour toute matriceMerrrac,drodee´n. On noteraIlmanit´edoatrice-u-tsed-a`erdrc(4eirI=I4) Soient (an)nN,(bn)nN,(cn)nN,(dn)nN:,dleenimrete´dsetiusseen´onadrlpaes´e   a0= 2an+1=an6bn+ 9cn6dn     b0=1bn+1= 3an+ 8bn9cn+ 6dn etlesrelationsder´ecurrence: c0= 1cn+1= 2an+ 4bn4cn+ 4dn     d0=1dn+1=an+ 2bn3cn+ 4dn   an bn 1. Soit,pour tout entiern>0,Xn=   cn dn (a) Montrerqu’il existe une matriceAr´ar,centietroutpourque,leel4et,rordeedn>1,Xn+1=AXn. 2 2 (b) CalculerAiquertredstxilelee´rxueM.nosαetβtels queA=αA+βI. 1 (c)End´eduirequeAnvtisiere.bl´ePrtneslaresroseAsous forme d’un tableau de nombres. 2. Soient(un)nN, et (vn)nNe´seap:re´etmrnisdteuissle,   u0= 1un+1=2vn etlesrelationsdere´currence: v0= 0vn+1=un+ 3vn n Montrerparre´currenceque,pourtoutentiern>1,A=unI+vnA. 3. (a) Montrerqu’il existe une matriceM2et,leeluq,eopru,carr´eedordrreitnetuotn>1,    un+1un =M vn+1vn   2 1 1 (b) SoitP= .Montrer quePest inversible, et calculerP . 11 1n 4. SoitD=P MP. CalculerD, puis, pour tout entiern>0,D. 5. n n1 (a) Montrerque, pour tout entiern>0,M=PP D. n (b)Pre´senteralorsMsous la forme d’un tableau de nombres. (c) Exprimerunetvnen fonction den. 6. n (a)D´eduiredecequipre´c`edelexpression,pourtoutentiern>0, deAsous la forme d’un tableau de nombres. (b) Donneralors l’expression dean, bn, cn, dnen fonction den. n (c) L’expressiondeAobtenue en a.) pourn>0 est-elle encore valable pourn=1 ?
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