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ISG 2002 Option économique
Exercice 1
1. Pourtout entier naturelnnon nul, on considère la fonctionfndénie sur lintervalle]1;+1[par : n x7!fn(x) =xln(1 +x): (a) Etudierle sens de variation de la fonctionhndénie sur lintervalle]1;+1[par : x x7!hn(x) =nln(1 +x) +: 1 +x Calculerhn(0);puis en déduire le signe dehn(x): 0 (b) Pourtoutxappartenant à]1;+1[montrer quef(x) =h1(x) 1 0n1 et que, pour tout entiernstrictement supérieur à1; f(x) =x hn(x): n (c) Onsupposenle tableau de variation de la fonctionimpair. Dresserfn;en précisant ses limites en1 et en+1: (d) Onsupposenpair. Dresserde même le tableau de variation defn;en précisant ses limites en1et en 1: 1 R n 2. Onconsidère la suite(un)n>1dénie par:un=xln(1 +x)dx: 0 ln 2 (a) Démontrerque, pour tout entier naturelnnon nul :06un6: n+ 1 (b) Endéduire que la suite(un)n>1est convergente et déterminer sa limite. 2 x1 (c) Jusitiferque, pour toutxappartenant à[0;1];on a :=x1 +: 1 +x1 +x 1 2 R x Puis calculerdx: 1 +x 0 (d) Calculeru1au moyen dune intégration par parties. n P k (e) Pourtoutxde[0;1]et pour tout entiern>2;on pose :Sn(x) =(x): k=0 n+1n+1 1 (1)x Montrer que:S(x) =: n 1 +x1 +x n1n+1 R 1 1(1)x n+1 Etablir légalité1+ +::+ =ln 2(1)dx: 2 3n1 ++ 1x 0 1n+1 R x1 Montrer que: 06dx6: 1 +x n+ 2 0 n 1 1(1) En déduirelim (1+ +::+ ) n!+1 2 3n+ 1 3. (a)A laide dune intégration par parties démontrer que :   n+1n ln 2(1 (1) 11) un=ln 2(1+ +::+ ) n+ 1n+ 12 3n+ 1
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